Nombres décimaux

[oscar]

1)Déterminer n si la fraction ( 2n + 1 ) / n ( n+1) est convertible
en décimales

2) Déterminer la plus petite fraction a/b qui satisfait aux conditions suivantes:
1°)D ( a; b) = 98
2°) b est carré parfait
3°) a/b est égal à un nombre décimal ayant 3 décimales.

[mathelot]

Bonjour Oscar,

merci pour ce joli énoncé :++:

solution de la (1):

la fraction est irréductible (facile)

comme la fraction est un décimal,
le dénominateur n(n+1) ne comporte que des facteurs avec puissances de 2
et puissances de 5

n et n+1 sont premiers entre eux. Ils n'ont donc pas de facteurs premiers
communs

1er cas
n=2^a
n+1=2^a+1=5^b

b=0 et a=2 convient.

sinon,on regarde le dernier chiffre de ces deux entiers, ie, modulo 10:

modulo 10 , 2^a donne de manière cyclique:
2^0=1;2^1=2;2^2=4;2^3=8;2^4=6;2^5=2;2^6=4...

donc a est pair.
a=2a'
5^b=4^a'+1
mais
5^1=4^1+1
d'où en soustrayant les deux égalités
5^b-5=4^a'-1
impossible modulo 10


2eme cas
n=5^a
n+1=5^a+1=2^b
modulo 10 , 2^b donne de manière cyclique:
2^0=1;2^1=2;2^2=4;2^3=8;2^4=6;2^5=2;2^6=4...
modulo 10 , 5^a donne de manière cyclique:
1;5;5.....
d'où b multiple de 4
b=4b'
n+1=5^a+1=16^(b')
5^a=(2^(2b')-1)(2^(2b')+1)
d'après la question 1, b'=0
b=0
a=0

conclusion: n=1 ou 4