Nombres complexes

[aurore123]

Bonjour à tous !

Je bloque sur mon dm de maths pourriez-vous m'aider ?

Voici l'énoncé :

Soit pour tout nEN*, Sn la somme :

Sn=sin(pi/n)+sin(2pi/n)+...+sin (((n-1)pi)/(n))

1. Posons z = cos(pi/n) + i sin (pi/n). Donner une expression simple de la somme :
1+z+...+z^(n-1).

Calculer la partie réelle et la partie imaginaire de cette somme.

Pour l'expression j'ai trouvé : (1-z^n)/(1-z) mais je ne suis pas sûre.

la partie réelle je trouve 1 et la partie imaginaire sin pi mais ca ne peut pas être ça car la question d'après est : en déduire l'égalité Sn = (1)/(tan(pi/2n)) or je n'arrive pas avec les parties réelle et imaginaire que j'ai trouvé à retrouver l'égalité demandé.

Merci d'avance pour votre aide

[Huppasacee]

Ta formule est bonne,, mais son exploitation pour les parties réelle et imaginaire non

[aurore123]

D'accord merci ! C'est déjà ca mais après alors pour les parties réelles et imaginaires comment on fait ?

[Huppasacee]

Tu as (1- z^n)/1-z
Tu connais z^n je pense
Ensuite tu as une fraction avec un nombre ( réel ) au numérateur et un nombre complexe au dénominateur
Tu multiplies en haut et en bas par le conjugué du dénominateur, il te restera un nombre réel au dénominateur.
Il te reste alors à séparer les parties réelle et imaginaire du numérateur

[pfdm]

Ds la formule (1-z^n)/(1-z) il faut utiliser z = exp(ipi/n) et on a
(1-z^n)/(1-z) = 2/ (1 - exp(ipi/n)).
Puis on factorise 1 - exp(ipi/n) = exp(ipi/2n) ( exp(-ipi/2n) - exp(ipi/2n)) = - 2isin(pi/2n)exp(ipi/2n)

donc (1-z^n)/(1-z) = 2/ -2isin(pi/2n)exp(ipi/2n) = iexp(-ipi/2n)/sin(pi/2n) soit (1-z^n)/(1-z) = 1 + i/tan(pi/2n)

or 1+z+...+z^(n-1) = Tn + iSn avec Tn = 1 + cos(pi/n) + ...

donc Sn = 1/tan(pi/2n)