Nombres Complexes

par **thecoolman007** » 03 Nov 2007, 17:35

J'aimerai être éclairer pour cette question :

Déterminer Z tel que : (iZ+1)/(Z-1) soit : a)un imaginaire pur non nul
b)un réel positif
J'ai essayé deux méthodes, j'ai tout d'abord fait avec la forme conjugué mais après je suis bloqué et ne sais plus quoi faire après j'ai essayé en remplaçant Z par x+iy mais à la fin je suis toujours bloqué.

par **Noemi** » 03 Nov 2007, 17:40

Il faut remplacer z par x+iy
(iZ+1)/(Z-1) = (ix-y+1)/(x-1+iy)

Multiplier par l'expression conjuguée
= (ix-y+1)(x-1-iy) / [(x-1)^2+y^2]

Vous développez le numérateur et vous isolez partie réelle et partie imaginaire.

par **thecoolman007** » 03 Nov 2007, 18:15

J'obtient -x²+xy+i(y²-yx-y)/(x-1)²+y² , est-ce que pour résoudre par exemple Re(Z)=O je prend en compte le dénominateur car j'ai essayé de résoudre Re(Z)=0 sans le dénominateur c'est à dire -x²+xy=0 et j'obtient x=y mais je ne suis pas sûr qu'il faut oublier le dénominateur....

par **Noemi** » 03 Nov 2007, 18:25

Reprend ton calcul
Tu dois avoir en numérateur :
(x+y-1) + i(x^2-x+y^2-y)

ensuite pour Z imaginaire pur, il suffit de résoudre
x+y-1 = 0, soit y = -x+1

Pour Z réel pur, résoudre x^2-x+y^2-y = 0

par **thecoolman007** » 03 Nov 2007, 18:52

Merçi pour le message précédent, je m'étais bien tromper dans mes calculs.
Si je met pour le dernier x²-x+y²-y=0 que les solutions sont situés sur le cercle d'équation x²+y²=x+y est-ce juste ?

par **Noemi** » 03 Nov 2007, 18:59

Ce n'est pas suffisant, il faut indiquer le centre du cercle et la valeur du rayon.

par **thecoolman007** » 03 Nov 2007, 19:08

le rayon est égal à racine(x+y) et le centre est O dans un plan complexe.
Ensuite dans l'exercide je doit résoudre z²-2(zbarre)+1= 0

zbarre=a-ib

j'aimerai savoir ce qui change de la résolution z²-2z+1=0 car pour cela on résout comme un polynôme.

par **Noemi** » 03 Nov 2007, 20:24

Pour les caractéristiques du cercle, il faut écrire l'équation sous la forme :
(x-a)^2+(y-b)^2 = R^2
on trouve (x-1/2)^2 + (y-1/2)^2 = 1/2
Soit un cercle de centre C(1/2;1/2) et de rayon V2/2

z différent de z barre, on ne peut remplacer l'un par l'autre.

par **thecoolman007** » 04 Nov 2007, 10:24

Si z différent de z barre alors puis-je utiliser la méthode des polynomes ? Pourriez vous m'éclaires sur la méthode à utilisez ? Je précise : il demande trois solutions complexes

par **Noemi** » 04 Nov 2007, 10:34

Le plus simple est de remplacer z par a+bi et z barre par a-bi.

par **thecoolman007** » 04 Nov 2007, 11:11

J'obtient (a-1)²-b²+i(2ab-2b) = 0 mais là je ne vois pas du tout comment déterminer des solutions avec cela

par **Noemi** » 04 Nov 2007, 11:16

Un nombre complexe x+iy est nul si et seulement si x = y = 0.

par **thecoolman007** » 04 Nov 2007, 11:56

Là j'avoue que je suis toujours dans le flou. Pourquoi le nombre complexe dans l'équation serait nul puisque c'est une addition ?

par **Noemi** » 04 Nov 2007, 12:01

si (a-1)^2 - b^2 = 0 et 2b(a-1) = 0, alors z = 0

par **thecoolman007** » 04 Nov 2007, 15:25

donc z=0 est une solution complexe mais je ne vois pas du tout comment trouver les deux autres solutions complexes car dans l'exercice il demande trois solutions, pourriez vous me donnez une piste ? Merçi

par **Noemi** » 04 Nov 2007, 15:43

non z = 0 n'est pas une solution.
Il faut résoudre le système :
(a-1)^2 - b^2 = 0 et 2b(a+1) = 0, ( Remarque c'est bien 2b(a+1) et non 2b(a-1) comme inscrit dans des posts précédents)
qui peut s'écrire :
(a-1+b)(a-1-b) = 0
2b(a+1) = 0

De 2b(a+1) = 0 on déduit soit b = 0, soit a = -1
si on remplace dans l'autre équation
b = 0 donne a-1 = 0, soit a = 1 donc z = 1
et a = -1, donne b^2 = 4, soit b = -2 ou b = 2
donc z = 1+2i ou z = 1 - 2i

par **thecoolman007** » 05 Nov 2007, 11:02

on me demande de résoudre dans C l'équation z^3=1 à l'aide des polynômes.

J'ai commencé en faisant (a+ib)^3=1
(a+ib)(a+ib)²=1
(a+ib)(a²+2iab+i²b²)=1
(a+ib)(a²+2iab-b²)=1
Mais après je ne vois pas vraiment quoi faire pour trouver les solutions est-ce que je doit développé ou peut-être que ma méthode est fausse depuis le début, j'ai besoin d'une piste, merçi.

par **Noemi** » 05 Nov 2007, 13:42

Développe complètement et résous le système :
partie réelle = 1
partie imaginaire = 0

par **thecoolman007** » 05 Nov 2007, 14:53

j'obtient j = -1/2-3/2i ensuite on me demande de vérifier que j barre = j^2

normalement j barre = -1/2+3/2i mais j'obtient j² = -2+3/2i et j'arrive pas à trouver d'où vient l'erreur.

par **Noemi** » 05 Nov 2007, 15:03

Comment as tu trouvé cette valeur pour j ?
j = -1/2 -V3/2 i

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