Nombres complexes [Terminal S]

[stef1414]

I) Polynomes de degrès trois: exemples

On se propose de résoudre dans C l'equation z3 + 3z² + 3z + 1 = 0 [1]
(mais le prof nous a dit qu'il y avait une erreur et que c'etait:
x3 - 3z² + 3z+ 7 = 0 (donc je sais pas j'ai pas reussi avec ca)

1)Pourquoi existe-t-il un polynome Q de degrès 2 tel que l'equation précédente s'ecrive: (z+1) Q(z) = 0 ?

2)Déterminer Q(z), puis résolvez l'equation Q(z) = 0 et l'equation [1].

3)Les solutions de l'equation [1] sont les affixes de trois points A,B et C.
Démontrez que le triangle ABC est équilatéral.


(avec l'equation de depart j'ai reussi jusqu au 2), mais avc la correction de l'equation du prof :s rien!)


II)Solutions conjugués

P est un polynomes complexes à coefficients réels défini par:

P(z) = a(indice n)z(puissance n) + a (indice n-1)z( puissance z-1) + ... + a(indice 1)z +z(indice 0)

(dsl je pouvais pas ecrire autrement je n'ai pas word avc les caracteres speciaux sur ce pc :s)

Supposons que z(indice 0) est un complexe solution de P(z) = 0, c'est à dire que P(z0) = 0.

1)a) Démontrez que P(z0) (tout barre donc conjugué) = P(z0) (juste z0 barre).

b)Déduisez-en que z0(barre) est aussi solution de l'équation P(z) = 0

2)Lorsque z0 est non réel, pourquoi alors P(z) = (z-z0)(z-z0(barre)) Q(z)?


(Ici j'ai repondus à tout mais pas tres bien démontré je crois)

III)Applications

On se propose de résoudre dans C l'equation z4 - 6z3 + 24z² - 18z + 63 = 0 [2]

1)Verifiez que i racinede3 est solution de cette equation.

2)Pourquoi existe-t-il un polynome Q de degrés 2 tel que l'equation [2] s'ecrive: (z²+3) Q(z) = 0 ?

3)Résolvez alors l'equation proposée et démontrez que si les solutions de [2] sont les affixes de quatre points A,B,C,D alors ces points sont sur un cercle. Précisez les centre et le rayon de ce cercle.


(ici j'ai rien reussi :s)

Merci de votre aiide ! et dsl de ne pas avoir pu ecrire bien :s !

[eejit]

I) Polynomes de degrès trois: exemples

On se propose de résoudre dans C l'equation z3 + 3z² + 3z + 1 = 0 [1]
(mais le prof nous a dit qu'il y avait une erreur et que c'etait:
x3 - 3z² + 3z+ 7 = 0 (donc je sais pas j'ai pas reussi avec ca)

1)Pourquoi existe-t-il un polynome Q de degrès 2 tel que l'equation précédente s'ecrive: (z+1) Q(z) = 0 ?

Indice (et ce sera le seul, pour ma part): -1 est une racine évidente de :, en gros, j'ai répondu à la question 1°).

Le reste coule de source...

[stef1414]

Oui, merci.
J'ai reussi le I) je pense et le II) aussi mais ptt pas tres bien redigé et demontré :s

par contre besoin d'aide pr le III) !!!!!!!!!!!! /!\ svp ! :(

[stef1414]

Personnne pour m'aider svp? :triste: