Nombres complexes

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kadaid
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nombres complexes

par kadaid » 16 Aoû 2018, 17:03

Bonjour

z=-V(2)/2+iV(2)/2=V(2)/2*(-1+i)
abs(z)=1
arg(z)=-3Pi/4

Déterminer n entier naturel tel qu z^n soit un imaginaire pur ?
z=(V(2)/2)^n*(-1+i)^n
J'ai voulu utiliser (-1+i)^n=k*i, k entier mais je n'y arrive pas !
Alors j'ai opté pour z^n=exp(-i*3*Pi*n/4)=cos(3*Pi*n/4)-i*sin(3*Pi*n/4)
donc cos(3*Pi*n/4)=0
n= 2/3+k*8/3 ou n= 2/3-k*8/3
A l'aide de Bezout: (je ne sais pas si la méthode la plus simple)
n=8k'-6, k' entier

Mais en vérifiant avec n=10 avec les deux écritures je trouve l'opposé:
(V(2)/2)^10*(-1+i)^10=-i
exp(-i*3*Pi*10/4)=i

Merci pour des réponses



aviateur
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Re: nombres complexes

par aviateur » 16 Aoû 2018, 17:08

Bonjour
C'est difficile à lire , tu peux utiliser les commandes latex.
Mais qu'est ce que c'est V(2)?

LB2
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Re: nombres complexes

par LB2 » 16 Aoû 2018, 17:08

Bonjour kadaid,

en Latex,


Oui, ce complexe est de module 1 et d'argument -3pi/4 modulo 2 pi.
Fais un dessin pour la suite! Le point de vue géométrique est toujours utile, voire indispensable...

LB2
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Re: nombres complexes

par LB2 » 16 Aoû 2018, 17:09

EDIT ; Son argument est +3pi/4 modulo 2 pi pardon, et non -3pi/4 justement. Ce qui se voit aisément sur le dessin d'ailleurs.

aviateur
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Re: nombres complexes

par aviateur » 16 Aoû 2018, 17:11

Ah oui

Effectivement je ne vais pas en dire plus que LBL2.
Place z sur le dessin , , ,..... c'est un bon début

kadaid
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Re: nombres complexes

par kadaid » 17 Aoû 2018, 09:27

Merci pour les réponses
Oui, arg(z)= +3*pi/4, t'as raison!
Bon maintenant ça marche.
Pour la méthode, est ce qu'avec (-1+i)^n on y arrive facilement ?

aviateur
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Re: nombres complexes

par aviateur » 17 Aoû 2018, 09:58

Bonjour
Il n'y a pas de problème nouveau. En effet le caractère d'être imaginaire pur ne dépend que de l'argument.

Ton nombre complexe n'est plus de module 1 mais son argument est le même.
Elevé à la puissance n l'argument est multiplié par n. C'est uniquement cela qui compte

Black Jack

Re: nombres complexes

par Black Jack » 17 Aoû 2018, 10:31

Salut,

arg(z) = 3Pi/4

arg(z^n) = 3n.Pi/4

z^n est imaginaire pur si ses arg = Pi/2 + k.Pi

--> 3n.Pi/4 = Pi/2 + k.Pi

3n/4 = 1/2 + k

3n = 2 + 4k

n = (2/3).(2k+1) (avec n et k entiers)

... Et donc (2k+1) est un impair qui doit être multiple de 3 --> (2k+1) = 3 ou 9 ou 15 ... (= 3 + 6k')

--> n = (2/3).(3+6k') = 2.(1 + 2k')

n = 2 + 4k' (avec k' dans N)

8-)

kadaid
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Re: nombres complexes

par kadaid » 18 Aoû 2018, 10:20

Encore merci pour vos réponses!
Bien sûr j'ai zappé la formule de moivre !

 

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