[TS] Nombres complexes

[Majaspique]

Bonjour,
voici l'énoncé :
Soit
1. Calculez , puis déterminer le module et un argument de , puis écrire sous forme trigonométrique.
2. En déduire le module et un argument de .
3. En déduire et

et ce que j'ai fais :
1. On calcule :






On calcule ensuite le module et un argument de :
On a :




Soit un argument de .




On écrit sous forme trigonométrique :


2. On en déduit alors le module et un argument de :



3. En écrivant sous forme trigonométrique :


On peut en déduire une seconde écriture de sous forme algébrique :


Or,

Donc :



On peut alors déterminer les valeurs exactes de et :






Je voudrais savoir si les résultats et surtout si leurs justifications sont corrects.
Merci d'avance pour votre aide.

[pascal16]

quand on passe de z² à z, il faut justifier pourquoi on choisit cette racine et pas l'autre ?

[Majaspique]

C'est-à-dire, je ne comprends pas ?

[Pseuda]

Bonjour,

Tout semble ok,
sauf 1. 3ème ligne du calcul : la racine carrée qui suit 2i se prolonge (mais c'est certainement une erreur de recopiage)
et 2. de manière générale, on ne peut pas écrire que arg(z^(1/2))=1/2 arg (z), il y a 2 nombres complexes z dont le carré est z^2 (avec des arguments qui différent de pi (modulo 2pi)), il faut expliquer pourquoi on prend l'un plutôt que l'autre.

Grillée, je laisse.

[Majaspique]

Pour la 3ème ligne du 1. ; c'était effectivement une erreur de recopiage, je l'ai modifié.
Pour le 2, j'ai vérifié les formules de cours et effectivement, et avec
Il conviendrait donc d'écrire pour le module :
.
Cependant, je bloque sur l'argument car on ne peut pas utiliser la méthode en déterminant cos et sin (vu que c'est du pi / 12) et que celle par la puissance 1/2 n'est pas au programme de terminale.

[mathelot]

le calcul n'est pas terminé...

[Pseuda]

On peut poser . On a donc . Je te laisse continuer.

[Majaspique]

Merci pour la fin du calcul.
On a donc :

[Pseuda]

Non, on a :


Ce qui fait 2 arguments : ou .

Il faut choisir le bon avec des considérations de signe du cos et du sin.

[Majaspique]

On a :




En notant un argument de .
On a :
.
et .

Or, comme , et sont positifs, alors :

et

De plus, admet un cosinus et un sinus négatifs alors que admet un cosinus et un sinus positifs.

On en déduit que :

[Pseuda]

Oui c'est ça. On peut dire aussi que les 2 solutions sont opposées (ce qui revient au même que de dire qu'elles ont un argument qui diffère de pi modulo 2 pi), et on prend la solution dont le cos et le sin sont positifs.

[Carpate]

J'admire la maîtrise du LaTeX par Majaspire
Bravo pour la présentation !

[Carpate]

Si le but de l'exercice est de calculer le sinus et le cosinus de , l'énoncé, point de départ des calculs, est un peu artificiel.
Il serait plus naturel de faire calculer la forme algébrique de la (bonne) racine carrée de

[Majaspique]

Je demanderai à ma prof de math lundi comment elle fait. En tous cas, merci pour votre aide.

[Pseuda]

Si le but de l'exercice est de calculer le sinus et le cosinus de , l'énoncé, point de départ des calculs, est un peu artificiel.
Il serait plus naturel de faire calculer la forme algébrique de la (bonne) racine carrée de

Bonsoir,

Si le but de l'exercice est de calculer le sinus et le cosinus de , autant faire calculer directement le sinus et le cosinus de , ça ira plus vite.

Sinon, effectivement, c'est bizarre comme formulation, de partir d'un complexe sorti d'on ne sait où, pour faire se rendre compte que c'est un complexe d'argument , pour faire obtenir ensuite le résultat.