DM TS nombres complexes

[DragonArgentetOr]

Bonjour à tous j'ai un dm à rendre dont voici l'énoncé des 2 premiers exercices :

Exercice 1:

Soit le polynôme P(z)= z^3 - 2z² + z - 2, où z est un nombre complexe
a) Calculer P(i) et P(2).
b) Déterminer les réels a et b tels que, pour tout complexe z, P(z)= (z-2)(az²+b)
Résoudre alors P(z) = 0 dans C.
c) Pour tout complexe z =/ -1, résoudre l'équation ((z-1)/(z+1))^3 -2((z-1)/(z+1))² + (z-1)/(z+1) - 2=0.

Exercice 2: Une équation particulière... Résoudre l'équation z²-4z/ -5 =0 dans C.

J'ai trouvé comme réponse à la question a) que P(i)=i^3 +i et que P(2)=0, mais à la question b je ne vois pas de quelle manière procéder pour trouver les réels a et b qu'on me demande de déterminer et pour l'exercice 2, je ne sais pas comment résoudre une équation du second degré comportant le nbr complexe z et son conjugué, il me faudrait savoir quelle est la partie réelle et imaginaire de Z. Je vous remercie d'avance pour votre aide.

[danyL]

P(i)=i^3 +i

tu peux simplifier encore
i^3 = i x i^2 = ...

[infernaleur]

Salut,

a) que fait i^3 ?
b) développe P(z)=(z-2)(az²+b) puis identifie les coefficients de ce polynôme avec P(z)= z^3 - 2z² + z - 2

[Pisigma]

Bonjour,

2) est-ce bien

dans l'affirmative, remplace z par x+iy

[Black Jack]

Pas du tout avec la marche à suivre demandée, et donc juste pour info :

Il fut un temps où on aurait fait ceci :

P(z)= z^3 - 2z² + z - 2
P(z)= z²(z - 2) + z - 2
P(z)= (z - 2).(z²+1)
P(z)= (z - 2).(z² - i²)
P(z)= (z - 2).(z - i).(z + i)

[DragonArgentetOr]

merci à tous pour vos réponses, effectivement je n'avais pas fais attention que je pouvais simplifier i^3 ce qui rend plus clair, par contre je ne vois pas en quoi faire de cette facon va me permettre de déterminer des réels ni que P(z)= (z-2)(az²+b). Et, en remplaçant z²-4z/ par x+iy et x-iy, je trouve :
(x+iy)²-4(x-iy)-5=x² + 2xiy -y² -4x +4iy -5; mais ça ne me simplifie pas du tout l'écriture au contraire.

[infernaleur]

par contre je ne vois pas en quoi faire de cette facon va me permettre de déterminer des réels ni que P(z)= (z-2)(az²+b)

Tu développes tu as
Or

Donc la tu peux identifier les coefficients de ce polynôme et tu obtiens a et b.

[infernaleur]

Et, en remplaçant z²-4z/ par x+iy et x-iy, je trouve :
(x+iy)²-4(x-iy)-5=x² + 2xiy -y² -4x +4iy -5; mais ça ne me simplifie pas du tout l'écriture au contraire.

Il faut déjà essayer de simplifier (développer etc ...) avant de dire que sa ne simplifie pas l'écriture.

[edit : je n'avais pas tout lu et vu que tu avais développé pardon]

[Pisigma]

merci à tous pour vos réponses, effectivement je n'avais pas fais attention que je pouvais simplifier i^3 ce qui rend plus clair, par contre je ne vois pas en quoi faire de cette facon va me permettre de déterminer des réels ni que P(z)= (z-2)(az²+b). Et, en remplaçant z²-4z/ par x+iy et x-iy, je trouve :
(x+iy)²-4(x-iy)-5=x² + 2xiy -y² -4x +4iy -5; mais ça ne me simplifie pas du tout l'écriture au contraire.

En partant de x² + 2xiy -y² -4x +4iy -5=0

tu résous le système et

[DragonArgentetOr]

ok j'ai compris ce que vous vouliez faire avec ça, donc j'ai réussi, et après pour résoudre P(z)=0, j'ai fait z-2=0 ou z²+1=0 et j'ai trouvé 3 solutions, en revanche pr l'exo 2, pour résoudre un système je dois prendre quoi comme expressions : x²+2xiy-y² et -4x+4iy-5?

[Black Jack]

Salut

Pisigma t'a tout dit

x² + 2xiy -y² -4x +4iy -5=0
(x² - y² - 4x - 5) + i.(2xy + 4y) = 0

Un nombre complexe est nul si et seulement si sa partie réelle est nulle ET sa partie imaginaire est nulle.

La partie réelle du nombre complexe (x² - y² - 4x - 5) + i.(2xy + 4y) est (x² - y² - 4x - 5)
La partie imaginaire du nombre complexe (x² - y² - 4x - 5) + i.(2xy + 4y) est (2xy + 4y)

Et donc ...

[Sa Majesté]

Pour limiter les calculs on peut aussi conjuguer l'expression de départ et soustraire membre à membre



d'où

donc (z est réel et ) ou (Re(z)=-2 et )

[DragonArgentetOr]

ok, j'ai compris, je pensais que c'était qu'avec les produits qu'on pouvait résoudre un système comme ça, du coup j'ai réussi à résoudre le système, merci de votre aide, par contre pour la dernière question, vu qu'il y a un cube, je ne peux pas utilise delta?

[Black Jack]

Où vois-tu un problème à cause d'un cube ?

Si c'est pour répondre à la question 1c ... alors tu n'as pas compris l'essentiel.

En ayant démontré que P(z)= z^3 - 2z² + z - 2, pouvait s'écrire P(z) = (z - 2).(z - i).(z + i)

Résoudre P(z) = 0 est immédiat, on a comme solution :

z1 = 2 ; z2 = i et z3 = -i
*****
Il s'agit maintenant de résoudre : ((z-1)/(z+1))^3 -2((z-1)/(z+1))² + (z-1)/(z+1) - 2=0.

Qui est identique à z^3 - 2z² + z - 2 = 0 dans lequel on aurait remplacé z par (z-1)/(z+1)

On a donc, par comparaison avec le début de l'exercice :

a) (z-1)/(z+1) = 2 d'où on doit déduire z = ...

b) (z-1)/(z+1) = i d'où on doit déduire z = ...

c) (z-1)/(z+1) = -i d'où on doit déduire z = ...

Pas de problème avec un cube.

[DragonArgentetOr]

ah d'accord, en fait pour la question b) j'avais fais un truc bien plus compliqué que ça, et j'avais trouvé un z2 et un z3 avec des racines. De plus, à cause de la forme fractionnaire, je n'avais pas saisi que c'était une transformation du z de l'équation de départ, là je comprends pourquoi le cube n'a pas besoin d'être résolu.

[DragonArgentetOr]

enfin, dans mon dernier exercice, on me demande de déterminer la limite d'une fonction ha en +00,définie pour tout nombre réel a, sur R par ha(x)= (ax + 1/2)/e^x. J'aimerais savoir si je m'y suis pris de la bonne façon:
lim ax=+00
x>+00
a>+00

lim e^x=+00
x>+00
a>+00

lim ax +1/2=+00
x>+00
a>+00

On a une Fi: "00/00"

et après je ne sais pas si je dois factoriser pour trouver la limite?

[Black Jack]

Salut.

Méthode 1)

Retenir qu'une exponentielle "gagne" toujours sur une puissance ... et donc la limite est 0 (c'est ce qu'on fait en Secondaire)

Méthode 2)
On est dans un cas où la règle de Lhospital est d'application et donc on trouve de suite que la limite est 0 (si on connait la règle évidemment)

Méthode 3)
On utilise un développement de e^x

e^x = 1 + x + x²/2! + ...+ x^n/(n!) + ...

e^x < 1 + x + x²/2! (pour x > 0)

|ha(x)| = |ax+1/2|/e^x

|ha(x)| = |ax+1/2|/e^x

0 <= |ax+1/2|/(1 + x + x²/2! ) (pour x > 0)

0 <= lim(x-->+oo) |ha(x)| < lim(x-->+oo) |ax + 1/2|/(1 + x + x²/2!)

0 <= lim(x-->+oo) |ha(x)| < 0

lim(x-->+oo) |ha(x)| = 0

Il reste un peu de boulot (pas beaucoup) pour montrer la monotonie de g(x) = (ax + 1/2), pour conclure.


Et plein d'autres méthodes ...