Nombres complexes

[Nymphe71]

Bonjour, j'ai un exercice qui me pose un gros soucis, et après de nombreuses heures à chercher, je sollicite votre aide, voilà l'exercice :


(O,u,v) est un repère orthonormal direct du plan complexe. Soit A le point d’a;)xe 1 +i.

Au point M d’a;)xe z, on associe le point M' d’a;)xe z' telle que z;)=1/ 2 (z +iz). (z étant "z barre")

1/ On pose z = x +iy et z;)= x'+iy;) avec x, y, x;) et y;) réels.

1. 1. Démontrer les égalités suivantes : x'=1/2(x + y) et y;)=1/2(x + y). En déduire que le point M' appartient à la droite (OA).

1. 2. Déterminer l’ensemble des points M du plan tels que M = M'

1. 3. Démontrer que pour tout point M du plan les vecteurs MM'
et OA sont orthogonaux.

Merci pour votre aide

[zygomatique]

salut

en notant z* le conjugué de z ...


ne serait-ce pas plutôt :: z' = (1/2)(z + z*)


z = x + iy

z* = .... ?

donc z' = ....?

[Nymphe71]

bonjour, sur mon énoncer il est bien marqué, en reprenant votre notation :

z' = (1/2)(z + iz*)

z = x +iy

z' = x' + iy'

[Nymphe71]

Si vous voulez le sujet, voici l'adresse (c'est un PDF)
http://www.google.fr/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&ved=0CCEQFjAA&url=http%3A%2F%2Ftsmaths.free.fr%2FDS2008%2Fds5_2008_2009_complexes_integrales_enonce.pdf&ei=oxXVVPi1B9LV7AbErIHADw&usg=AFQjCNFJp3EuvM1WIZa-L327smbjmRvKGg&sig2=_6GjQZkUk2oO5jAt4T6A_g&bvm=bv.85464276,d.ZGU

[annick]

Bonjour,

as-tu essayé de faire les calculs pour obtenir x' et y' en remplaçant z par x+iy, zbarre par x-iy et z' par x'+iy', puis en rassemblant les termes sans i et les termes avec i ?

[Nymphe71]

Bonjour,

oui j'ai essayé et voilà ce que j'obtiens :
x' = (1/2)x + (1/2)iy + (1/2)ix' - (1/2)y' - iy'
mais je n'arrive pas à simplifier plus pour obtenir x'=1/2(x + y) et y;)=1/2(x + y).

[mathelot]

bonsoir,

si et seulement si

ici







(calculs de tête)

[Nymphe71]

Bonjour mathelot,

je ne comprends pas à quoi peut servir ces calculs pour l'exercice ?

[Black Jack]

Bonjour,

oui j'ai essayé et voilà ce que j'obtiens :
x' = (1/2)x + (1/2)iy + (1/2)ix' - (1/2)y' - iy'
mais je n'arrive pas à simplifier plus pour obtenir x'=1/2(x + y) et y;)=1/2(x + y).

1.1)

z' = (1/2).(x+iy + i(x - iy))

z' = (1/2).(x+iy + ix + y)

z' = (1/2).(x + y + i(x + y))

z' = x' + iy' --->

x' = (1/2).(x + y)
y' = (1/2).(x + y)

:zen:

[Nymphe71]

Merci Black Jack :) mais comment peut-on déduire que le point M' appartient à la droite (OA) ?

[zygomatique]

il est trivial que l'équation de la droite (OA) est y = x

or y' = x' donc ....

[Nymphe71]

si j'ai bien compris, la réponse au 1) est :
L'équation de la droite (OA) est y=x
Or, y'=x' donc le oint M' d'affixe z' qui vérifie l'équation z'= x' + iy' appartient à la droite (OA)

[zygomatique]

donc le oint M' d'affixe z' qui vérifie l'équation z'= x' + iy'

ne veut strictement rien dire ....

[Nymphe71]

Est ce que je peux écrire dont le point M' d'affixe z' dont l'équation de z' est z'= x'+iy' ?

Pour la question 1)2 , je ne sais pas si ma méthode est bonne :
il faut M=M' ; donc :

z=z' (car l'affixe de M est z et l'affixe de M' est z')
x + iy = x' + iy'
x+y = (1/2)*(x+y) + (1/2)*(x+y)
(x+y)/(-x-y) = (1/2)*(x+y) + 1/2
-1 = (1/2)*(x+y) + (1/2)
-1/(x+y) = 1/2 + 1/2
-1/(x+y) = 1

Donc l'ensemble des points M du plan tels que M=M' est -1(x+y)

J'aimerais savoir si la méthode est bonne et si je n'ai pas fais de fautes dans mon calcul (je ne suis pas sur)

[zygomatique]

M = M' <=> z = z' <=> 2z = z + z* <=> z = z* <=> z est réel

...

[Nymphe71]

euh désolé mais je ne comprends pas votre raisonnement ....

[Robic]

Bonjour ! Je passais par là et j'interviens... Attention à la rédaction : il faut être clair. Là, par exemple

L'équation de la droite (OA) est y=x
Or, y'=x' donc le oint M' d'affixe z' qui vérifie l'équation z'= x' + iy' appartient à la droite (OA)

Comme l'a dit Zygomatique, ça ne veut rien dire.

Il suffit de reprendre le début de ta phrase : « L'équation de la droite (OA) est y=x. Or y'=x', donc le point M' appartient à (OA). » (Ses coordonnées vérifient l'équation, c'est suffisant pour conclure.)

Pour la question 1.2, ta méthode est bonne mais attention aux erreurs !

x+y = (1/2)*(x+y) + (1/2)*(x+y)

Tu as oublié les i ! Du coup tout le reste est faux...

(x+y)/(-x-y) = (1/2)*(x+y) + 1/2

Quelle horreur : on ne passe pas à gauche le (x+y) de cette façon !

Reviens au début du calcul et remets les i :
x+iy = (1/2)*(x+y) + (1/2)i*(x+y)

Ensuite, développe le membre de droite puis passe tout d'un côté (par exemple tout à gauche). Le but est d'avoir quelque chose qui ressemble à la fin à (exemple complètement au hasard) : (3x+y) + i(x-2y) = 0.

Tout cela est normalement très simple et tu gagnerais peut-être du temps en révisant les exercices de base avant de te lancer dans le D.M.

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Zygomatique : attention aux erreurs de calcul. z=z' est équivalent à 2z = z + iz*, pas 2z = z + z* (décidément, tout le monde oublie les i... :zen: )

[zygomatique]

ha oui j'ai oublié le i partout ...