Nombres Complexes

[leobon]

Bonjour, je suis sur un exercice pour réviser un ds. Et je suis tomber sur celui-là et je ne m'en sort pas...

1)a) factoriser P(z)= z^7-1, z appartenant à C, en utilisant une racine évidente.

b) en déduire les valeurs de Q(z) = 1+z+z²+z^3+z^4+z^5+z^6 lorsque z=e^(i*2pie/7)

c) A partir de la valeur de Re[Q(e^(i*2pie/7, et en utilisant le cercle trigo., déduire la valeur de l'expression : cos(2Pie/7)+cos(4Pie/7)+cos(6Pie/7).

2)a)Utiliser la formule de Moivre pour développer e^(2iTETA) et e^(3iTETA).

b) En déduire l'expression de cos(2TETA) et cos(3TETA) en fonction de cos(TETA)(on peut utiliser des formules de trigo.)

c)En combinant les résultats des questions 1c et 2b, montrer que cos(2PIE/7) est racine de :
8x^3+4x²-4x-1
J'ai réussi la première question, mais après, j'arrive toujours à des choses avec lesquelles je ne peut rien faire. Si quelqu'un pouvais me donner des pistes ce serais pas mal... Merci !

[didou31]

Tu vois le lien entre la question a et la question b) ?

[Dinozzo13]

Salut !

1°)a) Tu auras sans doute remarquer que 1 est une racine évidente de P(z).
Donc il existe un polynôme Q de degré 6 tel que, pour tout z :
avec .
Exprimer alors en fonction de .
Normalement, tu en déduis que
Ce qui te donne (d'où la question 2°)) )
b) Si et sachant que , tu doit montrer que .


:++:

[leobon]

Je vous remercie de votre aide, j'ai réussis à trouver pour la question 1... J'aimerais savoir si vous aviez des idées pour la question 2). Je ne comprend rien du tout...

[Manny06]

Je vous remercie de votre aide, j'ai réussis à trouver pour la question 1... J'aimerais savoir si vous aviez des idées pour la question 2). Je ne comprend rien du tout...

(cost+isint)²=cos2t+isin2t
d'où cos2t=Re(cost+isint)² tu développes ce carré et tu prends la partie réelle
de même cos3t=Re(cost+isint)³ tu développes le cube et tu prends la partie réelle