Nombres Complexes (niveau TS)

[Anonyme]

Bonjour, j'ai quelques ennuis en ce moment pour une exo parce que les complexes j'y comprends pas grand chose... Donc je vous montre à peu près ce que ça donne, si quelqu'un a une idée, aussi petite soit elle sur l'une des questions vs pouvez répondre dans ce forum ou a mon adresse mail: sarahlynnwagner@yahoo.fr. Merci d'avance...

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (0;u;v) (u et v sont des vecteurs) unité graphique 8cm.
On appelle A le point d'affixe -1 et B le point d'affixe 1.
On appelle S l'ensemble des points du plan distincts de A, O et B.
A tout point M d'affixe z appartenant à l'ensemble S, on associe le point N d'affixe z2 (z carré) et le point P d'affixe z3 (z au cube).
1. Prouver que les points M, N et P sont deux a deux distincts.

2. On se propose dans cette question de déterminer l'ensemble W des points M appartemant à S tels que le triangle MNP soit rectangle en P.
a. En utilisant le théorème de Pythagore, démontrer que MNP est rectangle en P si et seulement si |z+1|2 + |z|2 = 1
b. Démontrer que |z+1|2 + |z|2 = 1 équivaut à
(z + 1/2)(module de (z + 1/2) = 1/4
c. En déduite l'ensemble W cherché

3. Soit M un point de S et z son affixe. On désigne par r le module de z et a l'argument de z, a appartient à ]-pi : pi]
a. Démontrer que l'ensemble F des points M de S tels que l'affixe de P soit un réel strictement positif est la réunion de trois semi droites (éventuellement privées de points)
b. Représenter les ensembles W et F dans le repère
c. Déterminer les affixes des points M de S tels que le triangle MNP soit rectangle en P, l'affixe de P étant un réel strictement positif.

Voila pour ce qui est de mon exo, pour essayer de dessiner ce qu'il y a écrit dans l'énoncé, pas de problème mais ensuite avec tous les plans et les démonstrations qui se mélangent je n'arrive plus a suivre...

[Anonyme]

S'il vaus plait j'ai vraiment besoin d'adire, je m'en sors pas!!!

[Nicolas_75]

Bonjour,

1. Prouver que les points M, N et P sont deux a deux distincts.

M, N et P sont deux a deux distincts
zz^2 et z^2z^3 et zz^3
où signifie "différent de"
z(z-1)0 et z^2(z-1)0 et z(z-1)(z+1)0
z différent de 0, 1 ou -1
M différent de O, A ou B
M appartient à S (ce qui est VRAI)
M, N et P sont donc deux à deux distincts.

2. On se propose dans cette question de déterminer l'ensemble W des points M appartemant à S tels que le triangle MNP soit rectangle en P.
a. En utilisant le théorème de Pythagore, démontrer que MNP est rectangle en P si et seulement si |z+1|2 + |z|2 = 1

On applique donc le théorème de Pythagore :
MNP rectangle en P
MN^2 = MP^2 + NP^2
|z^2-z|^2 = |z^3-z|^2 + |z^3-z^2|^2
|z(z-1)|^2=|z(z-1)(z+1)|^2+|z^2(z-1)|^2
(on divise chaque membre par |z(z-1)|^2 non nul)
1 = |z+1|^2+|z|^2

Nicolas