Nombres complexes équation

[sweetassbaby]

Bonjouuur!

Pouvez vous m'aider pour une résolution d'une equation ?


Énoncé :

z^3 + (1+i)z^2 + (i-1)z - i = 0

On montrera tout d'abord qu'il existe trois réels a,b et c tels que:

z^3 + (1+i)z^2 + (i-1)z - i = (a-ai)(z^2 + bz + c)


Voilà merci!

[Ben314]

Salut,
Tu développe (a-ai)(z^2 + bz + c) puis tu regarde à quelle condition les 3 coeff. obtenus (de z^3, z^2, z et la constante) sont les mêmes que ceux de z^3 + (1+i)z^2 + (i-1)z - i.
Comme en plus tu sait que a,b,c doivent être réels, ça te fait des tonnes d'équations (6 pour être précis) dont certaines vont te donner super facilement les valeurs de a,b et c (et il suffira de vérifier que ça marche dans les autres équations).

[mathelot]

Énoncé :

z^3 + (1+i)z^2 + (i-1)z - i = 0

On montrera tout d'abord qu'il existe trois réels a,b et c tels que:

z^3 + (1+i)z^2 + (i-1)z - i = (a-ai)(z^2 + bz + c)


Voilà merci!

Bonjour,
il ne manque pas un z à droite ? (pour égaliser deux polynômes de degré 3)

[sweetassbaby]

Bonjour

Je trouve cela

z^3 + bz^2 + cz - aiz^2 - aibz - aic =z^3 + (1+i)z^2 + (i-1)z - i

?


Il y a une faute de frappe cest (z - ai)

[mathelot]

si le polynôme,appelons le P, est factorisable par (z-ai), alors P(ai)=0 (avec a réel)
on remplace z par ai, on trouve les conditions
a(a+1)=0 et 1+a+a^2+a^3=0
donc a =-1 convient.
P est factorisable par (z+i)

[Black Jack]

Salut,

z = -i est une solution triviale.

z^3 + (1+i)z^2 + (i-1)z - i = 0
= z³ + i.z² + z² + iz - z - i = 0
= z²(z+i) + z(z+i) - (z+i) = 0
= (z+i).(z²+z-1) = 0