(nombres complexes) équation du second degré un peu étrange

[annick]

Bonjour,
je trouve cette conversation bien compliquée pour pas grand chose et je comprends la perplexité de
Tir McDohl.
Effectivement, quand on t'avait dit que tu avais fait des choses plus difficiles, je crois que c'est vrai.
A partir du moment où tu ne t'affoles pas avec cette histoire de cos teta et que tu n'oublies pas que sin²teta+cos²teta=1 tu résous ça tranquillement, pas à pas :

z^2 -2cos(;))z + 1 = 0.
delta=4cos²teta-4=4(cos²teta-1)=4(-sin²teta)=4i²sin²teta

et

z1=2costeta-2isinteta=2(costeta-isinteta)=2e(-iteta)
z2=2costeta+2isinteta=2(costeta+isinteta)=2e(iteta)

Désolée de ne pas écrire en Latex et d'avoir redit la même chose que ce qui était dit précédemment, mais je trouve que l'on ne s'y retrouvait plus et je voulais juste résumer.

Il n'y a pas, selon moi, à envisager d'autres cas, car c'est une évidence que si sin teta=0, alors z1=z2=2costeta.

[quartzmagique]

C'est d'elle dont je parle dans mon dernier post.

edit: ah oui la modification de ton post c'est vrai! je vois le rapport maintenant, mais du coup c'est ce que je disais non? une troisième solution z=cos;).

oui
excuse moi mais je lisais tes posts avec le peu de ce que je pouvais voir en lisant derniers messages
la page bloquait
à present il suffit d'attendre quelques secondes

bon alors excuse oui c'est bien ce que tu disait

(disons que là j'ai détaillé au cas où ce soit un truc similaire que tu dois présenter)

mais bon oui effectivement tu avais la solution

[Tir McDohl]

D'accord.

Mais donc pour z^4-2cos(;))z^2 + 1= 0 j'en suis au même points.

J'ai des racines Z si je pose Z=z^2 et obtiens Z^2 -2cos(;))Z + 1 = 0, mais pour reprendre mon post de 4h23 hier, calculer par exemple la racine carrée de Z1=cos;)+isin;) en algébrique semble peu faisable. Et je crois pas non plus trop à la pertinence de mon utilisation de la formule de Moivre que j'ai faite su l'autre post après.
Sur ce plan je bloque complet, en plus c'est écrit "en déduire" les solutions de cette équation (après l'autre du second degré) donc j'imagine mal de très lourds calculs.

[quartzmagique]

D'accord.

Mais donc pour z^4-2cos(;))z^2 + 1= 0 j'en suis au même points.

J'ai des racines Z si je pose Z=z^2 et obtiens Z^2 -2cos(;))Z + 1 = 0, mais pour reprendre mon post de 4h23 hier, calculer par exemple la racine carrée de Z1=cos;)+isin;) en algébrique semble peu faisable. Et je crois pas non plus trop à la pertinence de mon utilisation de la formule de Moivre que j'ai faite su l'autre post après.
Sur ce plan je bloque complet, en plus c'est écrit "en déduire" les solutions de cette équation (après l'autre du second degré) donc j'imagine mal de très lourds calculs.

Bonjour
pas la peine de le faire en algebrique les équa. du quatrième degrés sont lourdes alors quand on peut les éviter en les simplifiant c'est mieux

en plus tu viens de donner la majeure partie de la solution

on recherche les racines z telles que prend donc



pour ce faire on commence par rechercher les racines Z telles que



on obtiens deux racines distinctes ou multiples et (mais qui ne sont pas les racines que l'on recherche à priori mais ça n' aucune importance)

on considère

-lorsque avec ou lorsque avec

alors on obtiens deux racines distinctes





-lorsque avec ou alors on obtiens une racine réelle et multiple



pour obtenir les racines z que tu recherche il suffit d'appliquer Z^1/2 on obtiens dès lors quatres racines disctintes ou non

[Tir McDohl]

il suffit d'appliquer Z^1/2

D'accord, mais comment? car c'est justement là que j'avais un problème en fait.
Juste avec Moivre comme j'avais mis plus haut? cad cos(1/2);)+isin(1/2);), etc...? du coup je calcule pas les racines carrées?

[quartzmagique]

non il n'y a aucune racine carrée à calculer
puissance 1/2 c'est pas une racine carrée
oui Moivre
mais juste avant là c'est important:(à cause des détails justement tu avais la solution cette nuit mais pour un exo il faut donner les racines selon selon ce que j'ai posté sinon ça passe pas )
c'est pourquoi pour rediger un exo ?

[quartzmagique]

je renvoie à ma réponse du post précédent
j'apporte juste trois précisions hors de propos ici mais qui te serviront toujours et t'éviteront des mauvaises surprises

ATTENTION C'est hors de propos juste un apparté(donc aucun rapport avec ce qui précède)

1) il faut toujours avoir en tête qu'une racine carrée est une application

2) la relation d'ordre n'existe pas dans

3)mais il est quand même possible de construire une application comme celle-ci


avec u=1 pour
avec u= -1 pour

[annick]

Oui, mais il ne faut pas oublier que ça donne quand même 4 solutions :

Z=z²=e^iteta soit z=(e^i(teta))^1/2 = cos1/2teta+isin1/2teta ou z=-(e^i(teta))^1/2=-cos1/2teta-isin1/2teta
Z=z²=e^(-iteta) soit z=cos(-1/2)teta+isin(-1/2)teta=cos1/2teta-isin(1/2)teta ou z=-(cos(-1/2)teta+isin(-1/2)teta)=-cos(1/2)teta+isin(1/2)teta

[quartzmagique]

c'est ce que j'ai dit
ça donne quatre solution
les solution ne sont pas Z mais z

[annick]

[quote="quartzmagique"]non il n'y a aucune racine carrée à calculer
puissance 1/2 c'est pas une racine carrée


Donc si on trouve 4 solutions, c'est bien que l'on a pris les racines carrées de Z pour trouver z.
D'autre part, ^1/2 correspond quand même bien à la racine carrée !

[quartzmagique]

Z possede deux racines on les a données
chacune de ces racines donnera deux racines z celles qu'on recherche en faisant Z^1/2 pour chacune des deux
donc au total ça fera 4 racines

la question maintenant est de savoir si il doit preciser pour un exo en donnant tous les cas selon comme ça a été precisé par moi
mais il avait donné la solution effectivement
tout depend de l'usage que l'on fait(or je le sais pas il n'a rien dit à ce sujet)

c'etait la raison de mon avant dernier post

sinon pour le reste il faut pas confondre puissance 1/2 et racine carree
ATTENTION C'est hors de propos juste un apparté(donc aucun rapport avec ce qui précède)

1) il faut toujours avoir en tête qu'une racine carrée est une application

2) la relation d'ordre n'existe pas dans

3)mais il est quand même possible de construire une application comme celle-ci


avec u=1 pour
avec u= -1 pour

[Tir McDohl]

J'enchaine des exos sur les nombres complexes (et les intégrales) vu que c'est là où je suis le plus faible, c'est juste des exos quoi, des cas indépendents pas des problèmes.

Bon sinon avec cette histoire ^1/2 =/= racine carrée, je sais pas trop où donner de la tête mais je vais partir du principe que même si au lycée c'est considéré comme identique il y a des différences dans l'application notamment dans les nombres complexes. Mais bon, à mon niveau c'est considéré comme kif-kif, c'est du moins ce qu'on m'avait appris.


Enfin bref, je vous remercie pour l'exo en tout cas.

[quartzmagique]

J'enchaine des exos sur les nombres complexes (et les intégrales) vu que c'est là où je suis le plus faible, c'est juste des exos quoi, des cas indépendents pas des problèmes.

Bon sinon avec cette histoire ^1/2 =/= racine carrée, je sais pas trop où donner de la tête mais je vais partir du principe que même si au lycée c'est considéré comme identique il y a des différences dans l'application notamment dans les nombres complexes. Mais bon, à mon niveau c'est considéré comme kif-kif, c'est du moins ce qu'on m'avait appris.


Enfin bref, je vous remercie pour l'exo en tout cas.

sinon en essayant de voir l'horreur en face
soyons réaliste
quand tu effectue une exponentielle rationnelle et non entiere sur un complexe tu aura plusieurs solutions
or qu'est-ce qu'une fonction entre deux ensembles A et B?
à tout un element de A il existe une seule et unique image sur B et de plus il existe au moins un element de A qui possede une image sur B et tous les elements de A qui possedent une image sur B justement n'en possedent que uniquement une
or en faisant z^1/2 par exemple tu en obtiens deux
ce n'est pas une relation fonctionnelle et encore moins une application
voilà le piege
ça te servira mefie toi quand on te parle de ça
pose et demande qu'elle est la nature de la relation
voilà l'origine du malheur des humains
ils croivent à des relations mais ne posent pas les definitions de celles-ci
alors soit heureux Camarade

[quartzmagique]

Tir Mc Dohl soit heureux camarade
le malheur ne doit pas te toucher il est : l'ennemi!