Nombres complexes + conjugués + affixes

[marineland]

Bonsoir, j'ai un exercice de DM à faire pour lundi avec un exercice sur les complexes et ... j'ai du mal ... j'epsère que vous pourrez m'aider

L'exercice est :

EXERCICE 2

PARTIE A

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O;u;v)
Pour réaliser la figure, on prendra pour unité graphique 1 cm.
Soit P le point d'affixe p où p=10 et T le cercle de diamètre [OP]
On désigne par oméga le centre de T
Soient A, B, C les points d'affixes respectives a, b, c où a=5+5i , b=1+3i, c=8-4i

1) Montrer que A, B, C sont des points du cercle T

2) Soit D le point d'affixe 2+2i. Montrer que D est le projeté orthogonal de O sur la droite (BC)

PARTIE B

A tout point M du plan différent de O, d'affixe z, on associe le point M' d'affixe z' tel que : z'=20/z barre où z barre désigne le conjugué de z

1) Montrer que les points O, M et M' sont alignés

2) Soit delta la droite d'équation x=2 et M un point de Delta d'affixe z. On propose de détérminer géométriquement le point M' associé au point M.

a) Vérifier que z + z barre = 4

b) Exprimer z' + z' barre en fonction de z et z barre et en déduire que : 5(z'+z' barre) = z'*z' barre

c) En déduire que M' appartient à l'intersection de la droite (OM) et du cercle T. Placer M' sur la figure


Partie A
Question 1 ? Je ne sais pas ...
Question 2 non plus

Partie B
Question 1 je ne vois pas
Question 2)a) : z+z barre = x+iy + x-iy = x+x = 2+2 = 4
b) : z'+z' barre = 20 / z barre + 20 / z barre barre = 20/z barre + 20/z ... et après ??
c) pas la moindre idée ...


MERCI D'AVANCE

[valentin.b]

Bonsoir,
Pour montrer que des points sont sur un cercle il suffit de montrer que les distances de ces points au centre du cercle vaut un certaine valeur (le rayon, ici r=10)
Pour trouver une distance calcule les affixe vecteurs MP (où M est le point dont tu cherche à déterminer si il appartient ou non au cercle, et où P est ... P).
Tu calcules les modules des affixes de vecteur qui te donne la longueur du vecteur...

[Florélianne]

Bonsoir,

PARTIE A
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O;u ;v) je souligne les vecteurs
Pour réaliser la figure, on prendra pour unité graphique 1 cm.
Soit P le point d'affixe p où p=10 et T le cercle de diamètre [OP]
On désigne par oméga le centre de T
Soient A, B, C les points d'affixes respectives a, b, c où a=5+5i , b=1+3i, c=8-4i

1) Montrer que A, B, C sont des points du cercle T
[OP] est un diamètre du cercle T => le milieu E de [OP] est le centre de T
l'affixe de P est p=10 donc l'affixe de E est 10/2 = 5
le rayon de T est OE = |5| = 5
A , B et C sont sur le cercle TEA=EB=EC=5
EA = |a-5| =|5+5i-5|=|5i| = 5
donc A est sur T
il faut faire pareil pour B et C

2) Soit D le point d'affixe 2+2i. Montrer que D est le projeté orthogonal de O sur la droite (BC)
D est le projeté orthogonal de O sur (BC) D est sur (BC) et (OD) est perpendiculaire à (BC)
2+2i est l'affixe de D donc 2+2i est l'affixe de OD
OD. BC = ?
affixe de BC : c-b= 8-4i -(1+3i) = 8-4i-1-3i = 7-7i
OD. BC =2*7+2(-7) = 14-14=0
donc OD et BC sont orthogonaux

D est sur (BC) BD et BC colinéaires
l'affixe de BC est 7-7i
l'affixe de BD est ?



PARTIE B

A tout point M du plan différent de O, d'affixe z, on associe le point M' d'affixe z' tel que : z'=20/z barre où z barre désigne le conjugué de z

1) Montrer que les points O, M et M' sont alignés
si z = x +iy alors
z'=20/(x-iy) = 20(x+iy)/(x²+y²) = [20/(x²+y²)] z
donc les vecteurs OM et OM' sont colinéaires
donc O, M et M' sont alignés

2) Soit delta la droite d'équation x=2 et M un point de Delta d'affixe z. On propose de détérminer géométriquement le point M' associé au point M.

a) Vérifier que z + z barre = 4
rappel : si z=x+iy , zbarre = x-iy
si M est sur delta alors z=2+yi et zbarre =2-yi
donc z +zbarre =

b) Exprimer z' + z' barre en fonction de z et z barre et en déduire que : 5(z'+z' barre) = z'*z' barre
on a vu que z' = [20/(x²+y²)] z
donc z'barre = [20/(4+y²)] zbarre
donc z'+z'barre = [20/(4+y²)] z + [20/(4+y²)] zbarre
z'+z'barre = 20/(4+y²)[z+zbarre]
mais z+zbarre = 4 donc
z'+z'barre = 80/(4+y²)

z'*z'barre = [20/(4+y²)] z * [20/(4+y²)] zbarre
z'*z'barre = [20/(4+y²)]² z*zbarre = [20/(4+y²)]²(x²+y²)
z'*z'barre = 20²/(4+y²)= 400/(4+y²)= 5[80/(4+y²)]
z'*z'barre = 5(z'+z'barre)

c) En déduire que M' appartient à l'intersection de la droite (OM) et du cercle T. Placer M' sur la figure
on a vu que O , M et M' sont alignés donc M' est sur (OM)
z'*z'barre = |z'|² = OM'²
z'*z'barre = 5(z' + z'barre)
OM² = 5 (z'+z'barre)

pardon, je sature, en déduire devrait être facile est surtout visible or je ne vois plus rien... bref il vaut mieux quitter !
Bonne chance...

[Huppasacee]

Merci Florelianne

maintenant , avec les indications données par Florelianne

écrire z' = x' + i y'

et traduis l'égalité
OM'² = 5 ....
tu auras l'équation d'un certain cercle

[marineland]

juste merci beaucoup !! il y a juste la toute dernière question dont je n'ai pas compris la réponse ... merci

edit : je ne comprends toujours pas ...

[Huppasacee]

OM'² = x'² + y'²

z' + z'barre = 2x'

x'² + y'² - 10x' = 0
équation du cercle cité

[marineland]

ah oui ok !!désolée il est tard c'est dur ^^
merci beaucoup, bonne fin de soirée, moi je vais reposer mon pauvre cerveau looool