Nombres complexes et cercle paramétrique

[jklmmlkj]

Bonjour tous le monde, je suis bloqué à un DM:

"Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct (o;u;v) d'unité graphique 1 cm.
Soit A le point d'affixe 3i. On appelle f l'application qui, a tout point M d'affixe z, distinct de A, associe le point M' définie par:
z'=(3iz-7)/(z-3i)"

Questions:

1-a)Développer (z-7i)(z+i) : c'est fait est je trouve z²-6zi+7;

b)Montrer que f admet deux points invariants B et C dont on précisera les affixes et qu'on placera sur le dessin : c'est fait est je trouve B d'affixe 7i et C d'affixe -i;

2-On appelle E(sigma) le cercle de diamètre [BC]. Soit M un point quelconque de E.

a)Justifier que l'affixe de M vérifie z=3i+4e^(i*téta) où téta est un nombre réel : c'est fait;

b)Exprimer l'affixe z' de M' en fonction de téta et en déduire que M' appartient aussi a E : là je n'y arrive pas, je trouve z'=16+16e^(2i*téta)

Voila merci de vos réponses, j'ai besoin de répondre a cette question pour faire la suite du DM!

[XENSECP]

1-a)Développer (z-7i)(z+i) : c'est fait est je trouve 6z²-6zi+7;

Faudra que tu m'expliques comment tu trouves ça parce que là c'est très fort

[jklmmlkj]

Désolé, erreur en tapant : c'est z²-6zi+7

[XENSECP]

Désolé, erreur en tapant : c'est z²-6zi+7

Je préfère ça :ptdr:


Bon bah la question 2 tu la déduis directement de la 1)

[Lemniscate]

je trouve z'=16+16e^(2i*téta)

Tu peux m'expliquer comment tu trouves cela ???
En tout cas si tu trouve le bon résultat pour z' en fonction de thêta (qui n'est celui que tu a posté) la fin de l'exercice sera triviale

[jklmmlkj]

J'ai remplacé z par 3i+4e^(i*téta) dans z²-6zi+7 parce que z' est aussi égal à (z-7i)(z+i).
Donc voila mais je ne suis pas sur de mon résultat!
Merci de vos réponses.

[jklmmlkj]

Personne peut m'aider?
Merci!

[Lemniscate]

z' est aussi égal à (z-7i)(z+i).

Oula c'est faux ca ! Ca voudrait dire que pour tout z complexe (z-7i)(z+i)=(3iz-7)/(z-3i), tu remplace z par -i, tu as prouvé que 0= 3-7 =-4

Donc tout nombre complexe est nul, ce qui me semble faux...

[jklmmlkj]

Ok, mais comment faire alors parce qu'en remplaçant l'affixe de M dans (3iz-7)/(z-3i), je trouve une fraction que je n'arrive pas à simplifier et qui ne montre pas que M' appartient au cercle!
Merci.

[jklmmlkj]

Toujours personne? Merci

[mathelot]

aloha,

ça vient...

si M a pour affixe
M' a pour affixe



le dénominateur se simplifie comme par miracle

on met en facteur et le dénominateur "remonte"
en au numérateur

[jklmmlkj]

Merci mais d'où viens 1/4?

[Lemniscate]

Le 1/4 vient de .

[jklmmlkj]

Euh désolé mais je ne vois toujours pas!
J'ai [3i(3i+4e^(i*teta))]/[4e^(i*teta)] mais pourquoi factoriser par 1/4?
Merci.

[jklmmlkj]

Il me semble avoir trouvé mais je trouve : 3i-4e^(-i*teta).
C'est ça? merci.