Nombres complexes et arithmétique

[quark]

Bonjour,
Je suis en terminale S spé maths. J'ai un DM à rendre pour vendredi et je sèche complêtement sur la partie 2.
Voici l'énoncé :
On désigne par l'ensemble des nombres complexes de la forme ( étant le nombre complexe ) où et sont des entiers relatifs.

1. Montrer que, pour tout élément de de , est un entier.
2. Quels sont les éléments non nuls de qui sont tels que soit également élément de ?

On a montré précédement dans la partie 1 que : , et que
Merci d'avance de l'aide que vous pourrez m'apporter!
A bientôt

[yos]

La première question est pas claire. Peut-être que tu parles de|z|². En ce cas tu as |z|²=(a+bj)(a+bj²)=a²+b²-ab qui est entier.

[quark]

Oui pardon c'était bien . Je suis arrivé à la même conclusion que toi pour la première question. Mais la seconde reste un grand mystère pour moi. Je ne vois même pas par où commencer.
Merci pour ta réponse rapide.

[redwolf]

Bonsoir.

Pour la deuxième question :
L'un des nombres et doit être de module (et donc aussi de module au carré) inférieur ou égal à 1. S'ils appartiennent tous deux à , leur module au carré est un entier (question 1) et on en déduit qu'ils sont tous deux de module 1.

Reste à résoudre l'équation . Pour , on a les solutions évidents et qui correspondent aux nombres et -. De même, pour , on a les solutions et qui correspondent aux nombres 1 et -1.

Pour et non nuls, et ne peuvent être de signes contraires, car le membre de gauche est alors supérieur à 3.
Mais on peut réécrire cette équation comme . Le membre de gauche étant positif, le membre de droite doit l'être aussi. et ne peuvent donc être de même signe que si leurs valeurs absolues sont inférieures à 1.
On obtient ainsi les deux dernières solutions : qui correspond à (ou -) et qui correspond à - (soit ).

Pour conclure, on vérifie que ces six nombres ont bien leur inverse dans .

[redwolf]

On peut traiter plus rapidement l'équation en l'écrivant : .
On voit alors que doit être inférieur à 1, c'est-à-dire que . En notant que l'inégalité est stricte si et sont différents (regarder le premier terme du membre de gauche), on retombe sur les six solutions du message précédent.

Bonne nuit,

Redwolf

[quark]

Ok merci.
Il y a un truc qui m'échappe, pourquoi le module de doit être égale à 1?
j'ai fais ça :

Et appartient à ssi et sont des entiers.
La condition pour qu'il soit entier est :
Je sais pas si je suis dans le vrai là?

[redwolf]

Là tu montres que la condition est suffisante. Mais ça ne prouve pas qu'elle est nécessaire. Et c'est cette nécessité qui restreint le nombre de solutions.

Pour voir que le module doit être égal à 1, il suffit d'écrire .

C'est un produit de deux entiers positifs qui est égal à 1, chacun des entiers est donc égal à 1.

Bonne journée,

Redwolf

[quark]

Ok je crois saisir la subtilité, en gros il aurait fallut que je montre que divise et faire la même chose avec . Et ça je vois pas comment faire

[yos]

Redwolf a bien répondu à la deuxième question. C'est la bonne méthode pour la condition nécessaire (la seule difficile). Par contre ce que suggérait quark est valable aussi pour la condition nécessaire. On doit avoir a²+b²-ab qui divise a et b car l'écriture d'un élément de A (et même d'un complexe) sous la forme x+yj est unique : (1,j) est une base de .
Mais on arrive aux mêmes difficultés : on doit dire que a²+b²-ab est strictement plus grand que a et b et donc ne saurait les diviser sauf cas particuliers que l'on identifie et qui sont alors les solutions du problème.
De toute façon, tout cela est bien théorique pour la TS.

[quark]

Merci pour votre aide!!!!!