Nombres Complexes Affixes

[Kimonotrn]

Bonjour!! J'ai un devoir maison à rendre pour ce lundi et le second exercice me pose vraiment problème, je suis bloquée à la première question depuis un moment et cela m'empêche d'avancer alors je me suis décidée à poster, j'espère que vous pourrez m'aider!

Exercice 2: Rotation
On se place dans le plan complexe. On note Ω le point d'affixe 1+i . A un point d'affixe M (z) on fait correspondre le point M '(z') vérifiant :
ΩM =ΩM '
(ΩM ,Ω M ')≡ π/3 (2π)

Cette application est appelée rotation d'angle π/3 et de centre Ω.

1°) Quel est l'image de Ω par cette transformation ?

La transformation est une rotation de 60°, mais si Ω est le centre alors je ne vois pas comment on peut trouver son image? Ce n'est pas lui qui est le sujet de la transformation mais plutôt le point M'qui est l'image du point M par la rotation de centre Ω et d'angle 60° non?
J'ai essayé de chercher mais je ne comprends toujours pas et comme les autres questions dépendent de la transformation je suis bloquée...

2°) On prend le point B d'affixe 3+i . Faire une figure et tracer le B' l'image de B par cette transformation.

3°)Montrer que z' −z A / z−z A =eiπ/3

4°) En déduire une expression de z' en fonction de z.

5°) Soit C(5+6 i)

a) Calculer l'affixe de C' et B'

b) Calculer l'affixe de I milieu de [CB]

c) Calculer l'affixe de I ' image de I par la transformation

d) Montrer que I ' est le milieu de [C ' B' ] .

6°) Soit d et e∈C et D et E les points d'affixes e et d . On note E' et D ' lees images de D et E .
Montrer que D ' E '=ED.

[pascal16]

en effet, on ne peut pas mesurer l'angle dans le cas de Ω.
On se sert donc de la géométrie "classique" pour répondre : l'image de Ω est Ω

z' −z A / z−z A =eiπ/3

il faut comprendre
z' −z Ω/ z−z Ω=eiπ/3

la norme te donne l'égalité des distances
l'argument, l'argument recherché (z' −z Ω)=(z−z Ω)eiπ/3

[Kimonotrn]

en effet, on ne peut pas mesurer l'angle dans le cas de Ω.
On se sert donc de la géométrie "classique" pour répondre : l'image de Ω est Ω

z' −z A / z−z A =eiπ/3

il faut comprendre
z' −z Ω/ z−z Ω=eiπ/3

la norme te donne l'égalité des distances
l'argument, l'argument recherché (z' −z Ω)=(z−z Ω)eiπ/3

Bonsoir j'ai obtenue cela ||z'-zΩ||=||z-zΩ|| puisque ces modules sont les longueurs (normes) des vecteurs ΩM et ΩM'.
De même l'argument du rapport (z'−z Ω)/(z−zΩ) est égal à π/3 car l'argument est égal à l'angle entre les vecteurs ΩM et ΩM'.
On a donc (z'−zΩ)/(z−zΩ)=1*eiπ/3=eiπ/3.

Mais je ne comprends pas comment je peux en déduire une expression de z' en fonction de z, vous pourriez m'expliquer s'il vous plait?

[pascal16]

tu cherches compliqué :

z' −z Ω/ z−z Ω=eiπ/3

soit

z' −z Ω =(eiπ/3)*(z−z Ω)
z' =z Ω + (eiπ/3)*(z−z Ω)

et si tu as une calculatrice qui gère les complexes, elle te donne l'image z' en fonction de z

[Kimonotrn]

tu cherches compliqué :

z' −z Ω/ z−z Ω=eiπ/3

soit

z' −z Ω =(eiπ/3)*(z−z Ω)
z' =z Ω + (eiπ/3)*(z−z Ω)

et si tu as une calculatrice qui gère les complexes, elle te donne l'image z' en fonction de z

Il suffit juste que je remplace Ω par 1+i et je peut rentrer le reste dans la calculette y compris la lettre z?

[vam]

Bonjour
recopier ici ce qu'un aidant a donné sur un autre site...
pas fort élégant...

[Kimonotrn]

Bonjour
recopier ici ce qu'un aidant a donné sur un autre site...
pas fort élégant...

Bonsoir!! Oui désolée c'est pour ça que je n'ai pas mis "trouvé" x) j'avais posé le sujet sur ce site en premier mais comme il n'y avait pas d'aidants disponibles j'ai tenté un autre site!
J'y ai reçu une grande aide, puis j'ai vu qu'un aidant était arrivé ici aussi je n'ai pas vu le mal de soumettre l'avancement atteint jusqu'ici même ci je conçois que c'est grâce à cet aidant que j'y suis parvenu. Je ne l'ai pas nié?

[pascal16]

"...y compris la lettre z?"
si la calculette accepte directement les complexes, oui, si elle ne les acceptes que sous la forme a+ib où il faut donner a et b, il faut 2 entrées pour z.

de toute faon, calcul + vérification graphique suffit à répondre aux questions avec le centre (qui est conservé) et les distances (qui sont conservées).

si pour faire une rotation, on place les points, on plate une pointe de compas en Ω et que tu tourne la feuille de l'angle de la rotation, tu as les images et 'est une évidence que les angles, le sens des angles, et les distances sont conservées.
C'est un exo qui parle d’homothéties vues par les complexes sans les citer qui transforme un sujet intéressant en un exo plat.

[Kimonotrn]

"...y compris la lettre z?"
si la calculette accepte directement les complexes, oui, si elle ne les acceptes que sous la forme a+ib où il faut donner a et b, il faut 2 entrées pour z.

de toute faon, calcul + vérification graphique suffit à répondre aux questions avec le centre (qui est conservé) et les distances (qui sont conservées).

si pour faire une rotation, on place les points, on plate une pointe de compas en Ω et que tu tourne la feuille de l'angle de la rotation, tu as les images et 'est une évidence que les angles, le sens des angles, et les distances sont conservées.
C'est un exo qui parle d’homothéties vues par les complexes sans les citer qui transforme un sujet intéressant en un exo plat.

Merci!! Je suis à la dernière question maintenant. Pour montrer que E'D'=ED je peux dire que comme E' et D' sont les images de E et D alors les modules des vecteurs E'D' et ED sont égaux donc [E'D]et [ED] ont la même longueur où je dois faire un autre type de démonstration s'il vous plaît ?

[pascal16]

si on suit l'exo, on a a plein de choix

z' =z Ω + (eiπ/3)*(z−z Ω)

tu fais z'E-z'D=... avec la formule dessus
les zΩ s'en vont.
tu prends les modules
et tu auras en fait démontré le cas général.