[DM] Nombres complexes 1ere STI EL

[Existenciel]

Bonsoir tout le monde.
J'aurait besoin de votre aide pour 2 questions d'un DM à faire :
Exercice 02.
On considère dans C l’équation (E1) d’inconnue z :
(E1) : z= (1 + i)z barre + 3 - 2i
où z = x + iy avec x et y appartenants à R
1. Calculer en fonction de x et de y les parties réelles et imaginaires du nombre complexe :
(1 + i)z barre + 3 - 2i

=> Je ne vois pas du tout comment commencer le 1) étant donner que l'équation de z contient elle même un z barre, je trouve ça plutôt bizarre. :hum:

Et aussi :
Exercice03.
(E2) = az²+bz+c=0
Soit Delta = b²-4ac.
Nous avons ici les 2 formules que nous verrons en classe de terminale, que nous utiliserons lorsque delta<0 :
z1= et z2 la même formule mais avec un signe positif entre -b et i.
1) Verifiez que z1 et z2 sont solutions de l'équation E2.
Après une application numérique que je réussis et :
4) Démontrez que la forme factorisée de E2 est :
a(z-z1)(z-z1 barre)

Ici non plus, je ne vois pas comment résoudre les questions 1 et 4 :hum:
Merci d'avance.

[XENSECP]

(définition du complexe conjugué).

Normalement tu peux finir la question 1)

Pour l'exo 3, question 1, tu as fait quoi comme application numérique ???? Parce que tout doit se faire littéralement (on écrit avec les lettres uniquement).

4) Il te suffit de calculer et prouver que c'est égal à l'expression E2.

[Existenciel]

Pour l'exercice 2 du 1, le z barre, je l'utilise pour le 1 +i ? ( ce qui donnerait 1 - i) ?
Pour l'application numérique, c'est une autre question à cotée (petit 2) où j'ai z²+2z+2=0
Donc delta = 4-8=-4
Donc z1 = donc =
Et z2= donc =

C'est justement l'application littérale que je n'arrive pas à faire, où faut démontrer que z1 et z2 sont solutions de E2 :marteau:

[XENSECP]

Pour l'exercice 2 du 1, le z barre, je l'utilise pour le 1 +i ? ( ce qui donnerait 1 - i) ?

On est mal barré.... C'est et non !! Donc tu ne fais le conjugué que de z !

Pour l'application numérique, c'est une autre question à cotée (petit 2) où j'ai z²+2z+2=0
Donc delta = 4-8=-4
Donc z1 = donc =
Et z2= donc =

C'est justement l'application littérale que je n'arrive pas à faire, où faut démontrer que z1 et z2 sont solutions de E2 :marteau:

Ok ... j'ai compris (j'ai cru que tu avais démontré via une application numérique...)

Bon est solution de E2

Idem pour l'autre racine

[Existenciel]

Oui, pour le 1) on est mal barré :ptdr:
Donc ce serait
Néanmoins, la question surment la plus bête mais qui me perturbe : Comment on saurait alors que ce dernier est compris dans l'équation de z ?

Et sinon, pour la formule de Z1 que tu m'as donné, je dois tenter le delta et faire quoi d'autre ?
Car la formule, c'est surtout que je ne vois pas comment l'utiliser afin de démontrer que z1 et z2 sont solutions.

[XENSECP]

Il faut développer en disant que (relis la question quoi, je peux rien faire d'autre là)

Pour l'autre question, tu dois montrer que c'est égal à 0 ! Pas trouver les solutions...

[low geek]

bonjour a toi existenciel ;)

pour le 1:
on te dit que z est sous la forme z=x+iy donc zbarre vaut zbarre=x-iy
(je pense que tu le sait)
il suffit de remplacer dans z= (1 + i)zbarre +3-2i de développer et de factorisé par i ensuite pour avoir partie réelle et immaginaire de z en fonction de x et y

[XENSECP]

bonjour a toi existenciel

pour le 1:
on te dit que z est sous la forme z=x+iy donc zbarre vaut zbarre=x-iy
(je pense que tu le sait)
il suffit de remplacer dans z= (1 + i)zbarre +3-2i de développer et de factorisé par i ensuite pour avoir partie réelle et immaginaire de z en fonction de x et y

soit + ou - ce que j'ai dis précédemment... Mais bon ça va peut être marché avec toi

[Existenciel]

Donc je fait pour le 1 : (1+i)x-iy +3 -2i, je développe le tout, et je factorise par i ?
Et sinon pour l'autre question, je vois à peu près comment faire, merci :lol3:

Edit : Le calcul me donne : , c'est bon ?

[low geek]

XENSECP: oui, j'ia trouvé ton explication suffisante aussi personnellement

Existenciel:
oui a part la partie avec -iy
tu as ce qui donne or dans ta leçon dans les complexes
donc cela donne +y finallement qui se retrouve sans i
donc cela donne
si je ne me trompe pas

[Existenciel]

Oui c'est bon, le résultat devient bien

Pour la suite je pense avoir compris, ce serait juste pour une vérification :
La question suivant, on nous demande de déduire que la résolution de (E1) conduit à un système de deux équations d'inconnues x et y à résoudre.
J'ai décidé d'appeler les équations E2 et E3 et d'utiliser la méthode du pivot de gauss :
E2 : x-y-2=0 | x-y=2 | 2x = -1 donc x = -0.5
E3 : 3+x+y = 0 | x+y=-3 | y = 2.5


Et donc, déduction de la solution z :


Est-ce juste ? :hein:

[low geek]

l'idée des équations et de la méthode est bonne mais tu a oublié quelquechose il me semble

l'équation est:

(E1) z= (1 + i)z barre + 3 - 2i
or on a dit que z= x+iy
car le calcule effectué avant est le calcul de la partie de droite, tu peux donc écrire
z=i(x-y-2)+3+x+y
or z=x+iy tu as donc:

x+iy=i(x-y-2)+3+x+y
tu sais que 2 complexes sont égaux si et seulement si leurs parties immaginaire et réel sont nulles donc la tu fait ton systéme avec:
x=3+x+y
y=x-y-2
et tu résout ;)
tu trouve ensutie ta valeur pour x et ta valeur pour y et grace a ces deux valeur tu obtient z.
tu peux vérifier si c'est juste en remplacant z par ce que tu as trouvé dans l'équation évidement ;)

[Existenciel]

Merci de votre aide, j'ai enfin résolu l'exercice :we:

[low geek]

pas de problème :zen: