Nombres complexe.

[mymy37]

bonjour, j'ai un probleme avec un exercice sur les nombres complexes.
Si quelqun pouvait m'aider ca serait gentils =)

Soit z=x+iy un nombre complexe quelconque (x et y des nombres réels)
A tout nombre complexe z différent de 1 on associe le nombre Z=(iz-1)/(1-z)

1) Trouver la partie réelle et la partie imaginaire du nombre complexe Z en fonction de x et de y
2) Préciser l'ensembles C des points images des nombres complexes z tels que Z soit un imaginaire pur
3) Préciser l'ensemble F des points images des nombres complexes z tels que Z soit un nombre réel
4) Construire dans un repère orthonormal (O;u;v) les ensembles C et F

Merci d'avance je pense pouvoir me débrouiller pour la question 4 :we:

Je tiens a signaler que j'ai essayé de faire l'exercice par moi même mais n'etant pas tres perspicace en maths j'ai trouvé des resultats etranges et faux je pense. :mur: en fait c'est surtout pour la question 1 qu'il me faut de l'aide avec le devellopement pour que je voye ou sont mes erreurs =/

MERCI =)

[Mortelune]

Bonjour, si tu as essayé, qu'est-ce que tu obtiens ? :)

[mymy37]

ben il n'y a que la question 1 que j'ai essayé et vu mes resultats j'ai préféré ne pas continuer ^^"

j'ai posé z=x-iy

et j'ai remplacé les z puis ensuite j'ai trouvé z= -((y-i)/2)+i(x/2) je crois mais j'ai faux non ? en plus je n'arrive pas a voir quelle est la partie réelle

[Mortelune]

Je ne sais pas si ton résultat est faux mais en tout cas il est clair que ce n'est pas la forme attendue.

Déjà une fois que tu a remplacé z par x+iy il est généralement plus simple d'avoir un dénominateur réel c'est à dire qu'on va utiliser l'identité remarquable pour faire disparaitre les i. Fin après ça reste un calcul assez brutal ^^

[mymy37]

et donc je dois faire comment ?
c'est le flou la ><

[Mortelune]

Z=(iz-1)/(1-z)
et z=x+iy, x et y réels.

Alors Z = ... (en fonction de x et y)

Et il ne reste plus qu'à simplifier l'équation pour séparer partie réelle et partie imaginaire c'est à dire mettre i en facteur pour certains termes (qui représenteront donc la partie imaginaire, les autres étant la partie réelle).

[mymy37]

Ah le grand Z il faut pas le remplacer par x+iy ??

[Mortelune]

Non c'est le "petit" z.

Au final on pourra exprimer Z=X+iY avec X et Y en fonction de x et y, X la partie réelle et Y la partie imaginaire de Z.

[mymy37]

donc je viens d'essayer j'en suis arrivé à Z=(ix-y-1)/(1-x-iy)
mais je sais pas quoi faire , comment je peux mettre un dénominateur commun?

[Mortelune]

Multiplie en haut et bas par le conjugué du dénominateur (ce qui revient à multiplier par 1 donc tu ne changes pas les solutions) et comme ça tu feras apparaitre un dénominateur réel.

[mymy37]

je multiplie par quoi exactement ? o_^ j'ai pas compris ^^" par l'opposé de mon denominateur actuel?

1-x-iy est mon denominateur donc je multplie par -(1-x-iy) ? comme ca le i disparait ?

[Mortelune]

Vous n'avez pas encore vu la notion de conjugué ?

Prenons un complexe C, C=a+ib, avec a et b réel. Alors le conjugué de C (on le note C avec une barre horizontale au dessus et on dit " C barre ") est a-ib.

Et ce qui revient à utiliser l'identité remarquable (a-ib)(a+ib)=a²-i²b²=a²+b² comme i²=-1.

[mymy37]

Ah oui d'accord , donc la je multiplie par (1-x+iy)/(1-x+iy) ?

[Mortelune]

Oui voilà.

[mymy37]

je dois pas multiplier par 1+x+iy/1+x+iy plutot ? le conjugué serait plutot ca non ?

[Mortelune]

Ah, eh bien calcule :
(1-x-iy)(1-x+iy) = ?
(1-x-iy)(1+x+iy) = ?

[mymy37]

AH ben non en fait , cest la forme a+ib ou a= 1-x et b = -iy ?
cest pour ca que cest 1-x+iy ?

[Mortelune]

Oui, il n'empêche qu'il va falloir commencer à calculer si tu veux une réponse :P

[mymy37]

Ben j'ai calculé le problème c'est qu'en bas je trouve un "-2x" ><

[Mortelune]

Développe ton calcul du dénominateur ici que je puisse t'aider ;)