Nombre d'or

par **ghghgh** » 12 Nov 2006, 04:01

Bonjour à tous,
J'ai quelques problèmes avec cet exercice, je n'arrive déjà pas la première question !
et c'est pas faute d'avoir cherché, mais le problème c'est que je tourne en rond dans mon calcul...

Je vous écris l'énoncé du problème, après c'est vous qui disposez pour m'aider ou non :)

mais déjà pour la première question ce serait sympa, (pour le reste aussi, et même encore plus ^^)

Partie A. Partage d'un segment en moyenne et extrême raison

Un segment [AB] étant donné, le partager en "moyenne et extrême raison", c'est chercher un point C de [AB] tel que AB/AC = AC/CB (1), relation que l'ontraduit souvent par : "le tout est à la plus grande partie ce que la plus grande partie est à la plus petite".

1. Montrer que (1) est vérifiée si et seulement si le rapport phi = AC/CB vérifie 1+ 1/phi = phi.

2. En déduire que phi est la solution positive de l'équation x^2-x-1 = 0.

3. Déterminer la valeur exacte de phi et une valeur approchée à 10 ^-3 près. phi est appelé nombre d'or.

Partie B. Les rectangles d'or

Soit ABCD un rectangle d'or, c'est-à-dire un rectangle dont la longueur L et la largeur l vérifient L/l = phi.

On suppose que L = AB et l = AD. On ampute ABCD du carré AEFD comme indiqué sur la figure.

1.a. Montrer que L-l < l.
b. Montrer que BEFC étant un rectangle d'or, l'amputer de même façon d'un carré de côté égal à sa largeur.
c. Appliquer encore deux fois successivement le procédé.
On obtient ainsi une suite de rectangles qiusont tous des rectangles d'or, semblables entre eux.

Voilà en quoi consiste cet exercice, peut-être vous semblera-t-il trivial, en tout cas il ne l'est pas pour moi...

Merci encore d'avance de votre aide, et bonne journée !
=D

par **Elsa_toup** » 12 Nov 2006, 11:13

Bonjour,

Je crois que tu as un petit problème d'énoncé.
Tu écris :

AB/AC = AC/AB (1)

Ne serait-ce point plutôt : AB/AC = AC/CB ???

par **ghghgh** » 12 Nov 2006, 12:02

oui, bien sûr, dsl pour la faute, et merci pour la correction ! :D

par **bernie** » 12 Nov 2006, 12:11

Bonjour,

Elsa a raison. Voir : nombre d'or sur

http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_d'or#Proportions

On a donc : AB/AC=AC/CB

mais AB/AC=(AC+CB)/AC=AC/AC+CB/AC=1+CB/AC

donc AC/CB=1+CB/AC et CB/AC=1/phi et AC/CB=phi

donc phi=1+1/phi

J'envoie.

par **bernie** » 12 Nov 2006, 12:17

2. En déduire que phi est la solution positive de l'équation x^2-x-1 = 0.

Donc on a :

1+1/phi=phi (1) : posons phi=x

(1) devient :

1+1/x=x avec x (donc phi) diff de zéro bien sûr.

On réduit au même déno que l'on supprime en multipliant gauche tet droite par x :

x+1=x² soit :

x²-x-1=0

3. Déterminer la valeur exacte de phi et une valeur approchée à 10 ^-3 près. phi est appelé nombre d'or.

Je suppose que tu sais caluler un discriminant?

Tu trouves une seule racine positive :

x=(1+V5)/2-->V=racine carrée.

Tu calcules une valeur approchée à 10 ^-3 près.

J'envoie.

par **Elsa_toup** » 12 Nov 2006, 12:23

Ca aurait été bien si ghghgh avait trouvé par lui-même, non ? :crunch:

par **ghghgh** » 12 Nov 2006, 12:30

^^ la 2 je savais la faire et la 3 aussi : )
c'est juste pour les démonstrations que je bloque à chaque fois :s
j'y arrive pas, j'ai beau chercher... :-/

mais merci pour tout !

par **bernie** » 12 Nov 2006, 12:39

Bien sûr Elsa : tu as tout à fait raison. Il lui reste une 2ème partie dont je ne me mêlerai pas, promis.

Note quand même que , sur beaucoup de sites (tu dois en fréquenter qq. autres comme moi) , tu trouves bcp de "correcteurs" qui ont le même défaut.

Je connais même un site où un des modérateurs donne tjrs la réponse complète, partant du principe que l'élève peut ne regarder que le début de la réponse et essayer seul avant de regardrer la suite.

Je ne lui donne pas tort. Donner une piste , c'est très bien mais si tu n'es plus connecté(e) en cas de pb, il faut que qq. d'autre prenne la relève. Pas tjrs simple.

Mes enfants ont bcp travaillé avec des livres d'exos avec corrigés. Cela ne les empêchait pas de chercher avant de regarder les réponses.

Je viens de lire que ghghgh avait trouvé seul mais pas les "démonstrations" : c'est amusant!!

A+

par **Elsa_toup** » 12 Nov 2006, 12:51

Tu as tout à fait raison. :happy2:
C'est seulement que je me base sur ma propre expérience, et je sais que, si on me donne la réponse, j'arrête de chercher (parce que, regardons les choses en face: pourquoi se fatiguer ? :euh: ).

Donc en général, j'évalue, sur des critères purement subjectifs (les miens) la difficulté de l'exercice.
Quand c'est du calcul pur, j'essaie de guider les étapes.

Et, si je dois partir, je préviens, ou compte sur quelqu'un d'autre (les bonnes âmes sont nombreuses sur ce site), ou à la limite je ne réponds pas pour que quelqu'un d'autre s'en occupe du début à la fin.

Mais, en l'occurrence, ghghgh a l'air content, donc je m'incline :scotch:

par **ghghgh** » 12 Nov 2006, 12:57

oui, merci pour tout :)

par **ghghgh** » 12 Nov 2006, 14:40

pour le partie B.
1.a montrer que L - l < l
en sachant que L / l = phi
faut bien résoudre l'inéquation :
phi * l - L/phi < L/phi

svp ?

par **Elsa_toup** » 12 Nov 2006, 14:54

Oui, c'est correct.
Sinon, tu peux aussi remarquer que: L - l < l <=> L/l -1 < 1, car l est différent de 0.

C'est complètement équivalent.
Suis ton idée, elle est bonne.

par **ghghgh** » 12 Nov 2006, 15:15

ok ! oui, j'ai trouvé ^^
par contre j'ai quelques soucis avec la 2.a Montrer que BEFC est encore un rectangle d'or.
Quelle est la démarche à suivre

il faudrait dire que ( L-l ) / l = phi
je sais pas trop pour cette question ? :s

par **Elsa_toup** » 12 Nov 2006, 15:23

Bon, je n'ai pas la figure, mais j'imagine que AE=l=DF.

Donc tu as un rectangle EBFC, de longueur L-l, et de largeur l.
Je te laisse vérifier que sa longueur sur la largeur vaut bien phi....

Donc, en fait, en te relisant, j'ai pris conscience de mon inutilité... :briques:
Oui, tu as trouvé, c'est tout à fait cela!!!!
Je te laisse continuer donc.

Ajout: non c'était le contraire, comme tu l'avais marqué au début....

par **ghghgh** » 12 Nov 2006, 15:42

:'( je bloque...
donc j'ai
(L-l)/ l = phi
donc L/l = phi + 1
donc L = (phi + l) l
et je me perds un peu :s :s

par **Elsa_toup** » 12 Nov 2006, 15:46

En fait il faut que tu montres que tu as bien (L-l)/l = phi, avec phi tel que : 1+ 1/phi = phi.

Donc il te suffit de vérifier que cette équation est vraie pour ce nouveau phi.

par **ghghgh** » 12 Nov 2006, 15:53

ok, grand merci, c'est ce que j'avais fait en premier temps reprendre la question 1, mais je pensai que ça ne prouvait rien du tout au niveau du rectangle... :-/

Donc en fait ça me fait :

Si le rectangle est d'or alors EB/EC = EC/CB

on montre que phi = EC/CB vérifie 1+ 1/phi = phi

donc EB/EC = (EC+CB) /EC
=EC/EC+ CB/EC
= 1+ CB/EC
Donc EC/CB = 1+ CB/EC

On sait que pour que le rectangle soit d'or EC/CB doit valoir phi et donc CB / EC = 1/phi

on a phi = 1 + 1/phi avec phi = EC/CB

c'est bon ça svp ? :)

par **Elsa_toup** » 12 Nov 2006, 16:02

Oui, c'est très bien.
La suite est exacetement identique, avec des expressions de plus en plus fatigantes.
Mais tu as compris le principe. :happy2:

par **ghghgh** » 12 Nov 2006, 16:05

enfin quand vous dîtes la suite...
l'exercice s'arrête là pour moi ^^
il ne me reste plus qu'à tracer quelques rectangle d'or et c'est fini :)

merci encore beaucoup pour votre et aide et votre patience !!!

:we:

par **Elsa_toup** » 12 Nov 2006, 16:14

Ah oui d'accord. Je croyais que

c. Appliquer encore deux fois successivement le procédé.

signifiait les construire et démontrer à chaque fois que c'était bien des rectangles d'or.

Tant mieux si c'est fini ! :we:

Je vous en prie par ailleurs.

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