Le nombre √2

[Luc]

Oui j'ai étudié les dérivées

Ok, donc au moins deux méthodes te sont possibles pour la première question :

1) sans les dérivées, c'est la méthode proposée par chan79. Cela utilise l'identité remarquable avec et . Ensuite il suffit de dire qu'un carré est toujours positif.

2) avec les dérivées, tu définis une fonction g par . L'inéquation de la première question se traduit par . Il suffit donc d'étudier le signe de g. Pour cela, on peut étudier les variations de g.
Pour étudier les variations de g, tu calcules la dérivée de g, que l'on note g'(x).
Comme tu as étudié les dérivées, tu es censée savoir calculer g'(x). Si tu ne sais pas, dis nous où tu bloques.
Ensuite connaissant le signe de g'(x), tu en déduis le sens de variation de g(x), et donc son signe grâce à un tableau de variations.

Tu peux comparer les deux méthodes :

1) est plus courte mais plus astucieuse.
2) est plus longue mais ne demande aucune astuce, et marche dans tous les cas.

Deuxième question, pareil au moins deux méthodes

1) sans les dérivées, en partant de et en manipulant des inégalités pour obtenir l'inégalité voulue.

2) avec les dérivées, en définissant la fonction h par h(x)=f(x)-x et en appliquant la même méthode qu'à la première question.

PS: La fonction que tu étudies est à la base de l'algorithme d'extraction de racine carrée, déjà connu et utilisé par les Babyloniens il y a quelques milliers d'années! http://fr.wikipedia.org/wiki/YBC_7289

[Luc]

Etudier les dérivées sans voir les limites, je trouve que ça n'a pas trop de sens, car les dérivées sont elles même des notions découlant de celle de limite.
Et on se demande maintenant pourquoi les lycéens ont de plus en plus de mal à comprendre.

Exactement! Ça me parait aussi très bizarre, mais j'ai posé la question pour en avoir le cœur net
Le nombre dérivé d'une fonction en un point est défini comme une limite, c'est la limite du taux d'accroissement de la fonction en ce point...

[Nightmare]

Hello,

la définition des limites est retirée du programme de 1ère S mais la notion y réside encore, elle est juste approchée intuitivement et n'est plus travaillée en dehors du cadre de la dérivation.

Cela dit, ça limite tout de même énormément leur acquisition, mais ce n'est pas un objectif des programmes actuel.

[Filly]

Merci a tous je travaille tout ça demain et je reprend les notions dont j'ai besoin pour ce dm :)