Nombre premier

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mehdi-128
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Nombre premier

par mehdi-128 » 12 Juil 2017, 18:55

Bonjour,

Soit p un nombre premier.
Soient et deux nombre entiers tel que Qk est premier avec p et :



Montrer que Q(k+1) est premier avec p.

Merci.



pascal16
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Re: Nombre premier

par pascal16 » 12 Juil 2017, 22:00

une manière peu glorieuse :
il existe a entier tel que
Q(k+1)=Q(k)+ap
on fait une division euclidienne par p de ce qui est à droite....le reste est non nul...cqfd

Arbre

Re: Nombre premier

par Arbre » 12 Juil 2017, 22:36

Salut,

Cela ne marche plus si p n'est pas premier ?

Cordialement.

pascal16
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Re: Nombre premier

par pascal16 » 13 Juil 2017, 09:24

p n'a pas besoin d'être premier


mehdi-128
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Re: Nombre premier

par mehdi-128 » 13 Juil 2017, 14:37

pascal16 a écrit:une manière peu glorieuse :
il existe a entier tel que
Q(k+1)=Q(k)+ap
on fait une division euclidienne par p de ce qui est à droite....le reste est non nul...cqfd


J'ai pas compris où on arrive à Q(k+1) premier avec p

pascal16
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Re: Nombre premier

par pascal16 » 13 Juil 2017, 14:51

Q(k+1) non premier avec p c'est Q(k+1) modulo p vaut 0
là tu as que Q(k+1) modulo p vaut la même chose que Q(k) modulo p, donc pas 0.

Tiruxa47
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Re: Nombre premier

par Tiruxa47 » 13 Juil 2017, 16:22

Bonjour,

Qk et p sont premiers entre eux donc pgcd(Qk,p)=1, donc il existe deux entiers relatif a et b tels que
a Qk + bp = 1 (i)
Or Qk+1 est congru à Qk modulo p, donc il existe un entier relatif c tel que Qk+1 - Qk = cp
ou Qk = Qk+1 - cp
En reportant dans (i) on a :
a(Qk+1 - cp) + bp = 1 , donc a Qk+1 + (b-ac)p =1, donc Qk+1 et p sont premiers entre eux. (théorème de Bezout)

mehdi-128
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Re: Nombre premier

par mehdi-128 » 13 Juil 2017, 23:07

pascal16 a écrit:Q(k+1) non premier avec p c'est Q(k+1) modulo p vaut 0
là tu as que Q(k+1) modulo p vaut la même chose que Q(k) modulo p, donc pas 0.


En gros Q(k) et Q(k+1) ont le même reste si on les divise par p ? Or Q(k) n'est pas divisible par p donc pareil pour Q(k+1) ...

C'est juste ça ?

mehdi-128
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Re: Nombre premier

par mehdi-128 » 13 Juil 2017, 23:08

Tiruxa47 a écrit:Bonjour,

Qk et p sont premiers entre eux donc pgcd(Qk,p)=1, donc il existe deux entiers relatif a et b tels que
a Qk + bp = 1 (i)
Or Qk+1 est congru à Qk modulo p, donc il existe un entier relatif c tel que Qk+1 - Qk = cp
ou Qk = Qk+1 - cp
En reportant dans (i) on a :
a(Qk+1 - cp) + bp = 1 , donc a Qk+1 + (b-ac)p =1, donc Qk+1 et p sont premiers entre eux. (théorème de Bezout)


Sympa comme démo :)

Arbre

Re: Nombre premier

par Arbre » 14 Juil 2017, 00:26

Bonsoir,

@Pascal : Je ne connais pas de résultat arithmétique qui permette de conclure sur le fait que 2 entiers sont premiers juste en connaissant le reste de l'un par rapport à l'autre.

Mais Tiruxa47 vient d'en donner une explication sans cela, cela resterait à justifier.

Bonne soirée.

Pseuda
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Re: Nombre premier

par Pseuda » 14 Juil 2017, 11:32

Arbre a écrit:Je ne connais pas de résultat arithmétique qui permette de conclure sur le fait que 2 entiers sont premiers juste en connaissant le reste de l'un par rapport à l'autre.

Bonjour,

Ceci ne veut rien dire ... . Premiers ... entre eux ? Reste dans ... division euclidienne ?

Pour la démo, il y a une propriété des PGCD qui dit que PGCD(a ; b)= PGCD( a ; b-ka), pour tous a, b, k entiers.
On applique : PGCD(Q(k+1) ; p) = PGCD(Q(k)+ap ; p) = PGCD(p ; Q(k)). Effectivement, p n'a pas besoin d'être premier.

Pseuda
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Re: Nombre premier

par Pseuda » 14 Juil 2017, 11:42

mehdi-128 a écrit:
pascal16 a écrit:Q(k+1) non premier avec p c'est Q(k+1) modulo p vaut 0
là tu as que Q(k+1) modulo p vaut la même chose que Q(k) modulo p, donc pas 0.


En gros Q(k) et Q(k+1) ont le même reste si on les divise par p ? Or Q(k) n'est pas divisible par p donc pareil pour Q(k+1) ...

C'est juste ça ?

Oui, pour p premier.

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zygomatique
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Re: Nombre premier

par zygomatique » 14 Juil 2017, 14:30

salut

soient m, n et p trois entiers tels que :

1/

2/ m et p sont premiers entre eux

alors :

1/ il existe un entier k tel que m = n + kp

2/ il existe des entiers u et v tels que mu + pv = 1

donc

mu + pv = 1 <=> (n + kp)u + pv = 1 <=> nu + p(ku + v) = 1

donc n et p sont premiers entre eux ...


et je n'ai rien supposé de plus sur les entiers m, n et p ...
Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. EUCLIDE

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Re: Nombre premier

par mehdi-128 » 15 Juil 2017, 15:32

zygomatique a écrit:salut

soient m, n et p trois entiers tels que :

1/

2/ m et p sont premiers entre eux

alors :

1/ il existe un entier k tel que m = n + kp

2/ il existe des entiers u et v tels que mu + pv = 1

donc

mu + pv = 1 <=> (n + kp)u + pv = 1 <=> nu + p(ku + v) = 1

donc n et p sont premiers entre eux ...


et je n'ai rien supposé de plus sur les entiers m, n et p ...


Ces u et v peuvent êtres relatifs non ?

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zygomatique
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Re: Nombre premier

par zygomatique » 15 Juil 2017, 16:21

oui ... et alors ?
Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. EUCLIDE

Arbre

Re: Nombre premier

par Arbre » 15 Juil 2017, 16:31

Tiruxa47 a écrit:Qk et p sont premiers entre eux donc pgcd(Qk,p)=1, donc il existe deux entiers relatif a et b tels que
a Qk + bp = 1 (i)
Or Qk+1 est congru à Qk modulo p, donc il existe un entier relatif c tel que Qk+1 - Qk = cp
ou Qk = Qk+1 - cp
En reportant dans (i) on a :
a(Qk+1 - cp) + bp = 1 , donc a Qk+1 + (b-ac)p =1, donc Qk+1 et p sont premiers entre eux. (théorème de Bezout)

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Re: Nombre premier

par mehdi-128 » 15 Juil 2017, 19:21

zygomatique a écrit:oui ... et alors ?


Le théorème de Bezout dit entier relatifs et vous avez mis entiers naturels, donc je demandais

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zygomatique
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Re: Nombre premier

par zygomatique » 16 Juil 2017, 22:28

non j'ai mis entiers !!
Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. EUCLIDE

 

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