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Réponses à toutes vos questions de la 2nde à la Terminale toutes séries
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mehdi-128
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par mehdi-128 » 12 Juil 2017, 18:55
Bonjour,
Soit p un nombre premier.
Soient
et
deux nombre entiers tel que Qk est premier avec p et :
Montrer que Q(k+1) est premier avec p.
Merci.
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pascal16
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par pascal16 » 12 Juil 2017, 22:00
une manière peu glorieuse :
il existe a entier tel que
Q(k+1)=Q(k)+ap
on fait une division euclidienne par p de ce qui est à droite....le reste est non nul...cqfd
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Arbre
par Arbre » 12 Juil 2017, 22:36
Salut,
Cela ne marche plus si p n'est pas premier ?
Cordialement.
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pascal16
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par pascal16 » 13 Juil 2017, 09:24
p n'a pas besoin d'être premier
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mehdi-128
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par mehdi-128 » 13 Juil 2017, 14:37
pascal16 a écrit:une manière peu glorieuse :
il existe a entier tel que
Q(k+1)=Q(k)+ap
on fait une division euclidienne par p de ce qui est à droite....le reste est non nul...cqfd
J'ai pas compris où on arrive à Q(k+1) premier avec p
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pascal16
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par pascal16 » 13 Juil 2017, 14:51
Q(k+1) non premier avec p c'est Q(k+1) modulo p vaut 0
là tu as que Q(k+1) modulo p vaut la même chose que Q(k) modulo p, donc pas 0.
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Tiruxa47
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par Tiruxa47 » 13 Juil 2017, 16:22
Bonjour,
Qk et p sont premiers entre eux donc pgcd(Qk,p)=1, donc il existe deux entiers relatif a et b tels que
a Qk + bp = 1 (i)
Or Qk+1 est congru à Qk modulo p, donc il existe un entier relatif c tel que Qk+1 - Qk = cp
ou Qk = Qk+1 - cp
En reportant dans (i) on a :
a(Qk+1 - cp) + bp = 1 , donc a Qk+1 + (b-ac)p =1, donc Qk+1 et p sont premiers entre eux. (théorème de Bezout)
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mehdi-128
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par mehdi-128 » 13 Juil 2017, 23:07
pascal16 a écrit:Q(k+1) non premier avec p c'est Q(k+1) modulo p vaut 0
là tu as que Q(k+1) modulo p vaut la même chose que Q(k) modulo p, donc pas 0.
En gros Q(k) et Q(k+1) ont le même reste si on les divise par p ? Or Q(k) n'est pas divisible par p donc pareil pour Q(k+1) ...
C'est juste ça ?
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mehdi-128
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par mehdi-128 » 13 Juil 2017, 23:08
Tiruxa47 a écrit:Bonjour,
Qk et p sont premiers entre eux donc pgcd(Qk,p)=1, donc il existe deux entiers relatif a et b tels que
a Qk + bp = 1 (i)
Or Qk+1 est congru à Qk modulo p, donc il existe un entier relatif c tel que Qk+1 - Qk = cp
ou Qk = Qk+1 - cp
En reportant dans (i) on a :
a(Qk+1 - cp) + bp = 1 , donc a Qk+1 + (b-ac)p =1, donc Qk+1 et p sont premiers entre eux. (théorème de Bezout)
Sympa comme démo
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Arbre
par Arbre » 14 Juil 2017, 00:26
Bonsoir,
@Pascal : Je ne connais pas de résultat arithmétique qui permette de conclure sur le fait que 2 entiers sont premiers juste en connaissant le reste de l'un par rapport à l'autre.
Mais Tiruxa47 vient d'en donner une explication sans cela, cela resterait à justifier.
Bonne soirée.
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Pseuda
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par Pseuda » 14 Juil 2017, 11:32
Arbre a écrit:Je ne connais pas de résultat arithmétique qui permette de conclure sur le fait que 2 entiers sont premiers juste en connaissant le reste de l'un par rapport à l'autre.
Bonjour,
Ceci ne veut rien dire ... . Premiers ... entre eux ? Reste dans ... division euclidienne ?
Pour la démo, il y a une propriété des PGCD qui dit que PGCD(a ; b)= PGCD( a ; b-ka), pour tous a, b, k entiers.
On applique : PGCD(Q(k+1) ; p) = PGCD(Q(k)+ap ; p) = PGCD(p ; Q(k)). Effectivement, p n'a pas besoin d'être premier.
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Pseuda
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par Pseuda » 14 Juil 2017, 11:42
mehdi-128 a écrit: pascal16 a écrit:Q(k+1) non premier avec p c'est Q(k+1) modulo p vaut 0
là tu as que Q(k+1) modulo p vaut la même chose que Q(k) modulo p, donc pas 0.
En gros Q(k) et Q(k+1) ont le même reste si on les divise par p ? Or Q(k) n'est pas divisible par p donc pareil pour Q(k+1) ...
C'est juste ça ?
Oui, pour p premier.
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zygomatique
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par zygomatique » 14 Juil 2017, 14:30
salut
soient m, n et p trois entiers tels que :
1/
2/ m et p sont premiers entre eux
alors :
1/ il existe un entier k tel que m = n + kp
2/ il existe des entiers u et v tels que mu + pv = 1
donc
mu + pv = 1 <=> (n + kp)u + pv = 1 <=> nu + p(ku + v) = 1
donc n et p sont premiers entre eux ...
et je n'ai rien supposé de plus sur les entiers m, n et p ...
Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. EUCLIDE
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mehdi-128
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par mehdi-128 » 15 Juil 2017, 15:32
zygomatique a écrit:salut
soient m, n et p trois entiers tels que :
1/
2/ m et p sont premiers entre eux
alors :
1/ il existe un entier k tel que m = n + kp
2/ il existe des entiers u et v tels que mu + pv = 1
donc
mu + pv = 1 <=> (n + kp)u + pv = 1 <=> nu + p(ku + v) = 1
donc n et p sont premiers entre eux ...
et je n'ai rien supposé de plus sur les entiers m, n et p ...
Ces u et v peuvent êtres relatifs non ?
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zygomatique
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par zygomatique » 15 Juil 2017, 16:21
oui ... et alors ?
Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. EUCLIDE
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Arbre
par Arbre » 15 Juil 2017, 16:31
Tiruxa47 a écrit:Qk et p sont premiers entre eux donc pgcd(Qk,p)=1, donc il existe deux entiers relatif a et b tels que
a Qk + bp = 1 (i)
Or Qk+1 est congru à Qk modulo p, donc il existe un entier relatif c tel que Qk+1 - Qk = cp
ou Qk = Qk+1 - cp
En reportant dans (i) on a :
a(Qk+1 - cp) + bp = 1 , donc a Qk+1 + (b-ac)p =1, donc Qk+1 et p sont premiers entre eux. (théorème de Bezout)
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mehdi-128
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par mehdi-128 » 15 Juil 2017, 19:21
zygomatique a écrit:oui ... et alors ?
Le théorème de Bezout dit entier relatifs et vous avez mis entiers naturels, donc je demandais
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zygomatique
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par zygomatique » 16 Juil 2017, 22:28
non j'ai mis entiers !!
Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. EUCLIDE
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