Nombre de diviseurs

[Grizet]

Bonjour ! Je suis nouveau sur ce forum et j'essaye de trouver une méthode générale pour résoudre le type de problème suivant.

Voici l'énoncé : " Quel est le nombre de diviseurs de 1800 compris entre 1 et 200 (inclus) ? "

J'ai évidemment cherché les diviseurs de .
J'ai pensé à éliminer dans l'intervalle tous les nombres premiers strictement supérieur à 5 (cfr diviseurs de 2016) et leurs multiples, en se basant sur le principe suivant : " Soit et deux nombres naturels non nuls (tel que ), alors il y a exactement multiples de entre (où désigne la partie entière de ) ".

Ainsi, par exemple, je sais que je peux éliminer tous les multiples de 7 dans l'intervalle . Or, je sais aussi, d'après le principe précédent, qu'il y a exactement multiples de 7 compris dans cette intervalle. Donc, je peux retirer 28 à 200 :
De cette manière, petit à petit, je soustraits ces nombres pour qu'il ne reste plus que des diviseurs de 1800 dans l'intervalle.

Je sais que cette méthode est très longue. Je vous propose donc de partager vos méthodes

[anthony_unac]

Il suffit de lister le nombre de diviseurs en partant de l'écriture
Avec un arbre, vous pouvez facilement répertorier les différents cas.
Les diviseurs de composés de diviseurs du type sortent de l'intervalle à partir de
Le diviseur est également à exclure

[Grizet]

Oui, merci pour ta réponse, j'avoue que cette méthode est plus courte que la mienne. Je l'ai essayée et elle est très prometteuse ! Malheureusement, elle est encore trop lente pour de grand nombre(sauf si tu connais une astuce pour lister ces diviseurs rapidement (j'essaye de trouver une méthode générale qui fonctionne rapidement, dans toute situation )

Au passage, j'ai trouvé encore une autre méthode (qui ressemble assez à la tienne) (voir ci-dissous) mais je ne suis pas apte à la réaliser ... j'encourage donc les meilleurs matheux (et les autres aussi ) à m'aider !

Le principe :
1. Calculer le nombre de diviseurs d'un nombre A (ici : 1800)
=> à partir de sa factorisation (), je crois qu'il y a une méthode pour calculer cela (=. En multipliant l'exposant de chaque facteur (ajouté de 1) entre eux.

2. Ne garder que ceux compris dans l'intervalle
=> je suis bloqué

[zygomatique]

salut

posons I = {0, 1, 2, 3} et J = {0, 2}

une fois que l'on sait que alors les diviseurs de 1800 inférieurs (ou égaux) à 200 sont :

les avec car 8 < 200
les avec car 9 < 200
les avec car 25 < 200

les car 8 * 9 < 200
les car 8 * 25 =< 200

certains à discuter (facile)

certains à discuter (moins facile)

...

[beagle]

soit a, b, c les puissances respectives de 2 , 3 et 5

tu as tous les diviseurs, et il n' ya pas de doublons dès lors que tu possèdes un triplet (a,b,c)
où a peut prendre les valeurs de 0 à 3, b de 0 à 2, c de 0 à 2
voilà pourquoi c'est du plus 1 (c'est à cause du zéro)

donc tu peux facilement calculer l'ensemble total:
4choix de a fois 3 choix de b fois 3 choix de c

Ensuite soit tu calcules l'ensemble demandé,
soit de l'ensemble total tu enlèves les valeurs qui dépassent , c'était l'idée d'anthony.
C'est assez classique en proba de calculer 1 - p' plutôt qu'un p complémentaire difficile et long à calculer.

[nodgim]

C'est un bon exercice mental de lister les diviseurs:
1800*1
900*2
600*3
450*4
360*5
300*6
225*8
200*9
Il y en a donc 7 qui sont > 200, qu'on élimine des 36 diviseurs.

[Grizet]

Oh... donc la réponse est 29 ? Tout simplement .... ?

[anthony_unac]

Oui si tous les cas de figure ont été comptabilisé.
Au final, la grande majorité des diviseurs sont dans l'intervalle d'ou l'idée de compter ceux qui ne sont pas dans l'intervalle sachant qu'on connait facilement le nombre total de diviseurs.
L'exercice aurait été autrement plus long (quoi que sans autre intérêt que celui purement calculatoire) si l'intervalle avait été par exemple.

[zygomatique]

Oui si tous les cas de figure ont été comptabilisé.
Au final, la grande majorité des diviseurs sont dans l'intervalle d'ou l'idée de compter ceux qui ne sont pas dans l'intervalle sachant qu'on connait facilement le nombre total de diviseurs.
L'exercice aurait été autrement plus long (quoi que sans autre intérêt que celui purement calculatoire) si l'intervalle avait été par exemple.

en quoi est-ce plus long avec l'intervalle [0, 125] plutôt qu'avec l'intervalle [0, 200] ?

[anthony_unac]

A dénombrer le nombre de diviseurs dans l'intervalle par dit ...

[Razes]

Le nombre de diviseurs compris entre 1 et 200 (inclus) =

C'est fait avec Excel (je joins le fichier XLS), en plus tu peux fixer le maximum à une autre valeur que 200 si tu le souhaite.

; avec

[Razes]

Nombre de diviseurs.jpg (59.86 Kio) Vu 1015 fois

Le fichier XLSX ne passe pas. J'intègre une copie d'écran.
Le bloc bleu est répéter pour chaque valeur de de à ; la colonne E donne la valeur du test 1 (vrai), 0 (faux)

Les formules:
D4: =2^A4*3^B4*5^C4
E4: =SI(D4<=$B$2;1;0)
E2 (Résultat): =SOMME(E4:E39)

Le nombre de cas possible est 29 (Merci Anthony de m'avoir signalé l'erreur)

[Grizet]

Prenons un autre exemple : le nombre de diviseurs de 600 compris entre 1 et 50. Selon Excel je devrais tomber sur 12 ?

[Grizet]

Ah non ^^ 15?

[anthony_unac]

Bonjour,

J'ai des doutes sur car le nombre de diviseurs total est de et il y a précisément diviseurs qui sortent de l'intervalles :

[anthony_unac]

Après ce qui peut être intéressant c'est de chercher pour un entier donné (ayant un nombre de diviseurs total pair) l'intervalle dans lequel il y a autant de diviseurs de qu'en dehors de cet intervalle humm...

[zygomatique]

A dénombrer le nombre de diviseurs dans l'intervalle par dit ...

je ne comprend spas comment dénombrer dans [0, 125] est plus difficile que dans [0, 200]

Après ce qui peut être intéressant c'est de chercher pour un entier donné (ayant un nombre de diviseurs total pair) l'intervalle dans lequel il y a autant de diviseurs de qu'en dehors de cet intervalle humm...

facile

[Razes]

Ah non ^^ 15?

16 (toujours avec EXCEL)
(a,b,c)=(0, 0, 0)--2^0*3^0*5^0= 1
(a,b,c)=(1, 0, 0)--2^1*3^0*5^0= 2
(a,b,c)=(0, 1, 0)--2^0*3^1*5^0= 3
(a,b,c)=(2, 0, 0)--2^2*3^0*5^0= 4
(a,b,c)=(0, 0, 1)--2^0*3^0*5^1= 5
(a,b,c)=(1, 1, 0)--2^1*3^1*5^0= 6
(a,b,c)=(3, 0, 0)--2^3*3^0*5^0= 8
(a,b,c)=(1, 0, 1)--2^1*3^0*5^1= 10
(a,b,c)=(2, 1, 0)--2^2*3^1*5^0= 12
(a,b,c)=(0, 1, 1)--2^0*3^1*5^1= 15
(a,b,c)=(2, 0, 1)--2^2*3^0*5^1= 20
(a,b,c)=(3, 1, 0)--2^3*3^1*5^0= 24
(a,b,c)=(0, 0, 2)--2^0*3^0*5^2= 25
(a,b,c)=(1, 1, 1)--2^1*3^1*5^1= 30
(a,b,c)=(3, 0, 1)--2^3*3^0*5^1= 40
(a,b,c)=(1, 0, 2)--2^1*3^0*5^2= 50

[Grizet]

Oui, en effet, j'ai inclus 12 dans ceux à enlever ^^

[anthony_unac]

je ne comprend spas comment dénombrer dans [0, 125] est plus difficile que dans [0, 200]

facile

Un dénombrement efficace en terme de temps consiste (ruse du flemmard) à calculer le nombre de diviseur total (facile) et à retrancher ceux qui sortent de l'intervalle mais lorsque l'intervalle contient autant ou moins de diviseurs qu'en dehors de l'intervalle alors le dénombrement est plus long. Vous nous proposez la valeur et c'était mon intuition également mais je n'ai toutefois pas réfléchi à une preuve en bonne et due forme de ce résultat (c'était par instinct).
Pour revenir sur le nombre de diviseurs de , le dénombrement le plus long (en terme de temps pour un humain avec une feuille et un crayon) aurait été de trouver tous les diviseurs de appartenant à l'intervalle plus que ou .