Nombre Dérivé

[tony57600]

Bonjour à tous,

Alors voilà je vous explique ma situation, début octobre un petit accident mes arrivé et je me retrouve avec le bras cassé :hum: ...résultat je suis encore avec mon bras dans le platre, et des difficultés énorme apparraissent en Math.
Voilà pour le contexte "historique" :ptdr:

Alors voilà je vous présente un petit exercice peu complexe, mais qui me pose des problêmes dut à un manque de travail pendant ces deux mois :

On considère la fonction f, définie sur lR (ensemble de définition) par : f(x)=(racine)x²+9 (l'ensemble est sous la racine)

1) Montrer que, pour tout réel h, f(4+h) - f(4) = (h+8)h/ (racine)h²+8h+25(fin de racine) +5

2) En déduire que f est dérivable en 4 et admet 4/5 pour nombre dérivé en 4.

3) Déterminer alors une approximation affine de la fonction f en 4, puis, sans utiliser la calculatrice, déterminer une valeur approchée de (racine)3,99+9(fin de racine)

Merci de m'éclairer et si possible me faire comprendre la méthode....Merci d'avance ^^

Amicalement Tony

[Noemi]

f(x)=(racine)x²+9 (l'ensemble est sous la racine)

1) Montrer que, pour tout réel h, f(4+h) - f(4) = (h+8)h/ (racine)h²+8h+25(fin de racine) +5
Ecrire f(4+h)-f(4) puis multiplier et diviser l'expression par f(4+h) + f(4)

2) En déduire que f est dérivable en 4 et admet 4/5 pour nombre dérivé en 4.
Calculer la limite de [f(4+h)-f(h)]/h pour h tendant vers 0.

3) Déterminer alors une approximation affine de la fonction f en 4, puis, sans utiliser la calculatrice, déterminer une valeur approchée de (racine)3,99+9(fin de racine) : y = f'(4)(x-4) + f(4)

[tony57600]

Merci des votre aide, mais je ne comprend pas votre explication pour le 1)

On doit calculer f(4+h)-f(4) et la réponse doit-être (h+8)h/ (racine)h²+8h+25(fin de racine) +5
(le professeur nous donne le résultat pour que l'on puissent continuer si jamais on bloque ^^ )

En "gros" je doit calculer :
f(x) = (racine) x²+9 (fin de racine)

f(4+h)-f(4)= (racine)(4+h)²+9 (fin de racine) - (racine)4²+9(fin de racine)

= (racine) 16+8h+h²+9 (fin de racine) - (racine) 16 + 9 (fin de racine)

= (racine) h²+8h+25 (fin de racine) - (racine) 25 (fin de racine)

= (racine) h²+8h+25 (fin de racine) -5

Voila mon résultat...certainement faux, mais je ne vois pas ou et pourquoi, sachant que je devrai trouver : (h+8)h/ (racine)h²+8h+25(fin de racine) +5

[Noemi]

Le calcul est juste, il faut multiplier et diviser ton résultat par : (racine) h²+8h+25 (fin de racine) + 5

[tony57600]

Ce qui me donnerais :

((racine) h²+8h+25 (fin de racine) -5 * (racine) h²+8h+25 (fin de racine) +5 ) / (racine) h²+8h+25 (fin de racine) + 5

Ca me parait bizarre car on pourrais simplifier par (racine) h²+8h+25 (fin de racine) + 5 et donc revenir au point de départ et avoir (racine) h²+8h+25 (fin de racine) -5

[Noemi]

Simplifie le numérateur : forme (a-b) (a+b)

[tony57600]

Merci, le 1) et fini

Pour le 2) vous m'avez conseiller de faire :

2) En déduire que f est dérivable en 4 et admet 4/5 pour nombre dérivé en 4.
Calculer la limite de [f(4+h)-f(h)]/h pour h tendant vers 0.

Vous ne vouliez pas dire :

2) En déduire que f est dérivable en 4 et admet 4/5 pour nombre dérivé en 4.
Calculer la limite de [f(4+h)-f(4)]/h pour h tendant vers 0.

[Noemi]

Oui c'est cela. (Une erreur de frappe)

[tony57600]

Je suis à :

Lim...... ( f(4+h)-f(4) ) / h
h -> 0


Je ne vois pas du tout comment continuer....

:id: A moin de remplacer h par zéro et donc de trouver :

[ f(4) - f(4)] / h

1/h

....Impossible de remplacer h par zéro, car h est dénominateur.....

[Noemi]

Tu reprends l'expression, tu simplifies par h et tu remplaces h par 0.

[tony57600]

En suivant votre conseille celà me donne :

lim [(h+8)h] / [ (racine) h²+8h+25(fin de racine) +5] / h
h->0

Impossible de remplacer h par zéro dans le cas là...à moin de le faire en 2 étapes :

1ere : lim [(h+8)h] / [ (racine) h²+8h+25(fin de racine) +5]

2eme : lim [(h+8)h] / [ (racine) h²+8h+25(fin de racine) +5] / h

(*) en remplacant h par zéro dans la première étape

[Noemi]

lim [(h+8)h] / [ (racine) h²+8h+25(fin de racine) +5] / h
h->0
Je simplifie par h
lim [(h+8)] / [ (racine) h²+8h+25(fin de racine) +5] /
h->0
Je remplace h par 0
soit 8/racine(25)+5 = 8/10, soit 4/5

[tony57600]

Merci, vous pouvez juste m'expliquer une étape :

lim [(h+8)] / [ (racine) h²+8h+25(fin de racine) +5] /
h->0

soit 8/racine(25)+5 = 8/10, soit 4/5


Ou vont [(h+8)] et (racine) h²+8h

Je vous remerci d'avance,moi je dois y allez merci encore :++:

[Noemi]

Si h tend vers 0, h+8 tend vers 8 et h²+8h tend vers 0;

[tony57600]

Je ne vois pas comment faire ma question 3) :

3) Déterminer alors une approximation affine de la fonction f en 4, puis, sans utiliser la calculatrice, déterminer une valeur approchée de (racine)3,99+9(fin de racine)


Si quelqu'un pouvais m'aidez je le remercie :++:

[Noemi]

L'approximation affine : y = f'(4)(x-4) + f(4)
= 4/5(x-4)+5 = 4x/5 +9/5

Si x = 3,99, y = 4*3,99/5 + 9/5 = 4,992

[tony57600]

:marteau: va falloir que sa rentre ^^

Merci encore Noémie ;)