Nombre décimal périodique -> fraction rationnelle

[BancH]

Ah non pour les nombres à plus de deux chiffres faut une suite..

[BancH]

Faudrait pas mettre sous la forme ?

[rene38]

Salut

D'après ce que j'ai compris, si tu veux mettre en base :

si avec alors en base

C'est ça ?

Oui, en n'oubliant pas qu'en base ,
ce qui s'écrit , c'est ...
ce qui s'écrit c'est
...

[Flodelarab]

Faudrait pas mettre sous la forme ?

On se rapproche de plus en plus.

On a l'habitude de dire :
Ou bi est le chiffre dans la base a

pour savoir combien de chiffres sont nécessaire pour coder n, il faut l'arrondi supérieur de ou a est la base.

[BancH]

Oui, ça donne mais il me manque quelque chose.

[Flodelarab]

Je rappelle que

[BancH]

Désolé mais je ne connais pas ces notions.

Je dois aller me coucher là, à demain et merci à René et toi.

[Flodelarab]

Je prends un exemple plus utile: le binaire
utilisé par les ordi


pour passer 63453 en binaire je cherche la somme des puissances de 2 qui le compose:

? non trop fort (65536)
? oui et il reste 63453-32768=30685 a décomposer
....

Et on trouve:

[Flodelarab]

Pour etre sur que je suis pas aller trop vit je remet une couche:

63453 = 6*10000+3*1000+4*100+5*10+3*1

Ecriture en base 10 (car on compte sur nos 10 doigts)

Mais en base 2 ( Que 2 chiffres: 0 et 1)
on doit écrire:

D'ou l'ecriture.

Allez! Dodo!

[haydenstrauss]

Mais en base 2 ( Que 2 chiffres: 0 et 1)
on doit écrire:

D'ou l'ecriture.

Allez! Dodo!

J'arrive pas a trouver rapidement quel sont les chiffre devant le

[Flodelarab]

tu determines les chiffres du plus grand au plus petit. Comme je l'ai fait pour trouver 0 devant 2^16 et 1 devant 2^15 ...

maintenant, qu'entends tu par rapidement ?

[nox]

tu veux dire pour faire ca?

pour passer 63453 en binaire je cherche la somme des puissances de 2 qui le compose:

? non trop fort (65536)
? oui et il reste 63453-32768=30685 a décomposer
....

Et on trouve:

de toute facon quand tu fais un peu d'info tu connais au moins les 10-15 premieres puissances de 2 donc ca va vite apres...

[Quidam]

Voila pkoi on cherche les décimales de Pi. Non pas pour le folklore, mais parceque si on trouvait une période, alors Pi serait rationnel et non irrationnel

Pas d'accord ! Si on cherche les décimales de , c'est en grande partie pour le folklore, et peut-être pour d'autres applications qui échappent à mon entendement. Mais ce n'est certainement pas pour chercher une période car on sait que n'est pas rationnel et n'a donc pas de période !
Rationnel peut se définir comme "zéro (c'est-à-dire racine) d'un polynôme du premier degré à coefficients entiers"
On fait aussi une autre distinction parmi les réels : ceux qui sont zéros d'un polynome à coefficients entiers, et les autres. Les premiers sont appelés "nombres algébriques", les derniers "nombres transcendants". Par conséquent, les rationnels sont une partie des nombres algébriques. Un exemple est et d'une façon plus générale pour n non carré parfait. Ces nombres, non rationnels, sont cependant algébriques. Car est un zéro du polynôme et est un zéro du polynôme

On connait très peu de nombres transcendants : , le nombre e tel que , ...Je serais bien étonné que sin(1), sin(2)...ne soient pas transcendants, mais je suis incapable de le démontrer...

[Flodelarab]

Rationnel peut se définir comme "zéro (c'est-à-dire racine) d'un polynôme du premier degré à coefficients entiers"

Et Pi n'est pas la racine d'un tel polynome ?
prouve le

pour moi c une conjecture car on a pas trouvé de période à pi
mais je serais ravi que tu me montre

[haydenstrauss]

tu veux dire pour faire ca?



de toute facon quand tu fais un peu d'info tu connais au moins les 10-15 premieres puissances de 2 donc ca va vite apres...

ok je voyer pas sa comme ça merci

[Quidam]

Et Pi n'est pas la racine d'un tel polynome ?
prouve le

pour moi c une conjecture car on a pas trouvé de période à pi
mais je serais ravi que tu me montre

Désolé, je ne connais pas la démonstration de la transcendance de . Mais tu trouveras une démonstration de la transcendance de e et, comme conséquence, de celle de dans :
http://www.umpa.ens-lyon.fr/JME/Vol1Num3/LebeauJME3/LebeauJME3.pdf#search=%22nombres%20transcendants%22

La démonstration de la transcendance de e est un exercice classique de terminale.

[nox]

Et Pi n'est pas la racine d'un tel polynome ?

Ca a été établi par Lindemann en 1882 je crois...

On en a déduit l'impossibilité de la quadrature du cercle

[Quidam]

J'arrive pas a trouver rapidement quel sont les chiffre devant le

Un petit truc bien utile :

Si

et si

Alors avec les définis par :


Oui, je sais, ça fait un peu ronflant ! Essayons d'être plus clair sur un exemple.

En base 8 le nombre s'écrit car :



Notons par parenthèse qu'il n'est pas nécessaire de connaître les puissances de 8 pour faire cette décomposition. On peut également trouver les chiffres successifs en commençant par la gauche.

Divisant 63453 par 8 on trouve : 7931,625

Et on sait que la division par 8 d'un nombre entier ne peut donner que 8 parties fractionnaires différentes :

Code: Tout sélectionner

0       pour les multiples de 8
0,125 comme lorsque l'on divise 1 par 8
0,25  comme lorsque l'on divise 2 par 8
0,375 comme lorsque l'on divise 3 par 8
0,5   comme lorsque l'on divise 4 par 8
0,625 comme lorsque l'on divise 5 par 8
0,75  comme lorsque l'on divise 6 par 8
0,875 comme lorsque l'on divise 7 par 8

Ainsi, la partie fractionnaire ,625 du nombre 7931,625 montre aisément que le nombre en question est égal à 5 modulo 8 et par conséquent, 5 est le dernier chiffre.

Ensuite, reste à itérer le processus : on divise 7931 par 8 et on trouve 991,375 : le chiffre suivant est 3, etc...
Je ferme la parenthèse.

Et je reprends :

En base 8 le nombre s'écrit

Alors, puisque :






on peut écrire directement :



ou
si tu préfères.

En d'autres termes, décomposer un nombre directement en binaire est long et pénible. Décomposer selon la base 8 est plutôt rapide et le passage au binaire est ensuite instantané.

On peut même faire encore plus rapide. La calculatrice de windows donne immédiatement l'équivalent en hexadécimal (c'est à dire en base 16) d'un nombre fourni en décimal, il suffit de cliquer sur "hex". Avec 63453 ça donne F7DD.

Je rappelle les équivalents des lettres :

Code: Tout sélectionner

0 hexadécimal signifie  0 décimal soit 0000 en binaire
1 hexadécimal signifie  1 décimal soit 0001 en binaire
2 hexadécimal signifie  2 décimal soit 0010 en binaire
3 hexadécimal signifie  3 décimal soit 0011 en binaire
4 hexadécimal signifie  4 décimal soit 0100 en binaire
5 hexadécimal signifie  5 décimal soit 0101 en binaire
6 hexadécimal signifie  6 décimal soit 0110 en binaire
7 hexadécimal signifie  7 décimal soit 0111 en binaire
8 hexadécimal signifie  8 décimal soit 1000 en binaire
9 hexadécimal signifie  9 décimal soit 1001 en binaire
A hexadécimal signifie 10 décimal soit 1010 en binaire
B hexadécimal signifie 11 décimal soit 1011 en binaire
C hexadécimal signifie 12 décimal soit 1100 en binaire
D hexadécimal signifie 13 décimal soit 1101 en binaire
E hexadécimal signifie 14 décimal soit 1110 en binaire
F hexadécimal signifie 15 décimal soit 1111 en binaire

Avec F7DD on obtient directement 1111 0111 1101 1101
c'est-à-dire la même chose que précédemment ! Cela justifie la formule
citée au début. Puisque et que on peut passer facilement d'une représentation en base 8 ou 16 à une représentation en base 2.

[Flodelarab]

ok!
Je plaide coupable! :jap:
J'ai dit une grosse bétise :party:

[nox]

"google est ton ami"
Flodelarab

:ptdr: