TheMoby a écrit:Bonjour, la question est :
Donner la forme exponentielle du nombre complexe 3/4 + √(3)/4i.
J'ai trouvé : r=|z|=√(3)/2
Ensuite, je bloque. J'ai cherché un corrigé de mon exercice sur internet et en le regardant je suis tombé sur
3/4 + √(3)/4i = √(3)/2 * ( √(3)/2 + 1/2i )
Je suppose que ça a un lien avec z=r(cosØ+isinØ) mais je n'arrive pas à comprendre cette égalité.
Quelqu'un peut il m'aider ?
Bonjour,
Reprenons tout !
Tout d'abord, le module d'un nombre complexe z, qui est le nombre r = |z| est en fait la distance entre l'origine du repère et le point qui représente ce complexe dans le plan orthonormé.
Si nous faisons un schéma, en plaçant le point d'affixe 3/4 + √(3)/4i, nous pouvons placer le point H qui est le projeté orthogonal sur l'axe des abscisses. Nous voyons apparaître un triangle rectangle AOH.
En d'autres termes, r s'exprime avec le théorème de Pythagore:
Donc
, donc comme tu l'as bien trouvé.
Maintenant comme tu le sais, nous devons calculer l'angle
qui correspond à l'angle
. Pour calculer cet angle nous pouvons utiliser le sinus ou le cosinus dans le triangle rectangle !
Par exemple,
...
Donc
tu peux donc trouver cet angle AOH en utilisant la touche cos^(-1) ou bien en regardant un tableau avec des angles remarquables !
Nous pouvons faire la même chose avec le sinus de theta = coté opposé/hypoténuse, on trouverait alors
Ici, ils font en fait apparaître directement à la fois le sinus et le cosinus de l'angle theta dans la formule
.
Cela signifie, par identification de la partie réelle et partie imaginaire, que:
et que
.. il suffit donc de regarder un tableau avec des angles remarquables pour voir que vaut theta. Cela revient au même !
Après, la formule
ne sort pas des nuages.
Il suffit de constater sur le dessin que le point A a pour coordonnées (OH ; AH).
Or puisque cos(AOH) = OH/r, alors OH = r*cos(AOH) = r*cos(theta).
sin(AOH) = AH/r, alors AH = r*sin(AOH) = r*sin(theta)
Donc en fait, A a pour coordonnées (r*cos(theta); r*sin(theta)). Cela représente bien le complexe
r*cos(theta) + i*r* sin(theta)
= r(cos(theta) + i sin(theta))