DM nombre complexe Ts

[kjg]

Bonjour, je suis bloqué a la question 1a de ce dm:

D'abord l'énoncé:

1 Soit z et z' deux nombres complexes.
x partie réelle de z, x' partie réelle de z', y patie imaginaire de z et y' partie imaginaire de z'

Soit M le point d'affixe z et M' le point d'affixe z'.


a) Démontrer algébriquement que |z+z'|=|z|²+2(xx'+yy')+|z'|²

b) interpréter géométriquement cette égalité, pour démontrer ensuite que:

||OM(vecteur) + OM'(vecteur)|| et sup. ou égale à OM² + 2OM*OM' + OM'²

c) en déduire que |z+z'| est sup. ou égale à |z| + |z'|

2) Soit A, B et C trois points du plan complexe. Utiliser le résultat de la question 1C) pour démontrer l'inégalité triangulaire: AC sup. ou égale à AB+ BC

mon probléme se situe au 1a qu'est ce que veux dire |z+z'|² c'est le module de (z + z')² ce qui revient a z +z' donc a x + y + x' + y'?

[Sylviel]

Et bien je te suggère d'écrire z = a +ib, z'=a'+ib', que vaut alors |z+z'|² ?

autre solution : écrire |Z|²=Z*Zbarre

[kjg]

|(a+bi) + (a'+bi')|²
= | (a² +2abi+ bi²) + 2(a+bi)(a'+bi') + (a'² + 2a'bi' + bi'²)|?

[Sa Majesté]

Non
Le carré du module c'est la somme du carré de la partie réelle et du carré de la partie imaginaire
Il faut commencer par trouver la partie réelle et la partie imaginaire de (a+bi) + (a'+bi')

[kjg]

b'i partie imaginaire de z' et bi celle de z
cela fait donc: (a+a')² + (bi + b'i)²= a² +bi²+ 2(aa'+bib'i) + a'² + b'i²

|z|² = a²+ b² donc l'égalité est vérifiée, je me trompe?

[Sa Majesté]

Reprenons
Quelle est la partie réelle de z+z' ?
Quelle est la partie imaginaire de z+z' ?

[kjg]

la parie réelle de |z+z'| c'est a+a'
la partie imaginaire est bi + b'i?

[Sa Majesté]

OK pour la partie réelle mais pas pour la partie imaginaire
La partie imaginaire est un nombre réel
La partie imaginaire de c'est

[kjg]

(a+a')² + (b+b')²= a² +b²+ 2(aa'+bb') + a'² + b'²

Comme ceci c'est bon alors?

[Sa Majesté]

Oui là c'est OK

[kjg]

Je vous remercie pour cette première aide!