Nombre complexe, cours

[marsmallow]

bonjour,
il y a une remarque que je ne comprends pas dans mon cours sur les nombres complexes:

il est dit que:

si on a l'égalité pour z2 non-nul, |z1 + z2| = |z1| + |z2|, alors |1+u|= 1+ |u|. Donc |u|= Reu. Je ne comprends pas pourquoi on en déduit que le module de u est égal à sa partie imaginaire?
Il y a autre chose que je ne comprends pas:

Comme |u|²= (Reu)² + (Imu)², on en déduit que Imu=0, donc u=Reu=|u|. Ok.
Ainsi z1= Lambda.z2 (je ne vois pas comment on arrive à en déduire cette égalité)

merci et bonne soirée à vous

[mathelot]

Ce genre se truc se vérifie de la manière suivante

on élève au carré

et on transforme les carrés des modules en produits, c'est ça l'idée

[Arnaud-29-31]

Bonjour,

L'égalité |z1 + z2| = |z1| + |z2| est comme tu le sais en générale fausse.
Si elle est donc vérifiée c'est que l'on se trouve dans un cas particulier.
Dans le cas proposé on a z1 = 1 et z2 = u

Je te propose de poser u = a + i.b et de regarder ce que l'égalité |1+u| = 1 + |u| implique comme condition sur a et b.

[mathelot]

si on a l'égalité |z1 + z2| = |z1| + |z2|

on utilise

l'égalité équivaut





avec