Nombre complexe Z^2018

[tomtom]

Bonjour tout le monde.

J'ai une question me posant un problème.



Voilà:
On sait que:
-Z=e^{i7Pi/ 12}
-cos (7Pi /12)= racine 2 /2
-sin (7Pi/12)=-racine 2/2

Ecrire sous forme algébrique le nombre complexe Z^2018

Il faut, je pense, utiliser ''2kPi'' mais je ne vois pas la démonstration

Et généralement, comment faire face à des questions du type Z^20...

Merci

[Mimosa]

Bonjour

Commence par te demander que vaut !

[tomtom]

Bonjour Mimosa

Merci pour ta réponse.

Donc:

Z^12=(e^{i7Pi/12})^12=e^{i7Pi}=cos 7PI+i sin 7Pi=-1

Comme: 2018=2016+2=12*168+2

Alors:
Z^2018=(e^{i7Pi/12})^12*168+2=?

après cela je ne vois pas on ne peut pas faire (e^{i7Pi/12})^12*168+2=-1^170

[Mimosa]

Eh bien, ça donne
.

En fait, j'espérais que tu verrais tout de suite que et que

[tomtom]

ah en effet,

Merci pour ton aide. la démonstration paraît très claire maintenant.

Merci beaucoup^^

[pascal16]

Variante par le module 24 direct (je pense que c'est ce que tu voulais faire au départ)

Z=e^{i7Pi/ 12}
Z^2018 = (e^{i7Pi/ 12})^2018
Z^2018 =e^{i(7*2018)Pi/ 12}

2pi= 24pi/12
7*2018 modulo 24 = 14
Z^2018 =e^{i 14 Pi/ 12}
Z^2018 =e^{i 7 Pi/ 6}
Z^2018 =e^{i( Pi + Pi/ 6)}
facile à trouver sur le cercle trigo, ses sinus et cosinus sont opposés à ceux de e^ipi/6

[tomtom]

Bonjour Pascal.

Merci pour ton aide

Désolé de te répéter, mais comment as tu trouvé: Z*2018 modulo 24 = 14

[pascal16]

pas "z" mais "7*2018" sept fois 2018

sans utiliser la fonction "reste de la division entière" d la calculette
(2018*7)/24=588,xxxxx
2018*7 - 24*588 = 14
donc 2018*7 = 24*588 +14

version mimosa / spé math:
congruence modulo 24
2018*7 congru à (2018 modulo 24) * 7 = 2* 7 = 14

[Black Jack]

7Pi/12 * 2018

ent((7*2018/12)/2) = 588

7Pi/12 * 2018 - 588 * 2Pi = Pi * (7 * 2018 - 588 * 2 * 12)/12 = 14/12 Pi = Pi + Pi/6

z^2018 = cos(Pi + Pi/6) + i.sin(Pi + Pi/6) = -cos(Pi/6) - i.sin(Pi/6)

z^2018 = -(V3)/2 - (1/2).i

[tomtom]

Merci infiniment à tous pour votre aide.
En effet il faut utiliser la congruence .

merci encore^^