Niveau TS famille de fonction (exponentielle) et un peu de lieu géométrique

[Matttkd]

Bonjour, j'aurais besoin d'aide pour un exercice type bac que je n'arrive pas a faire. J'ai reussi a répondre a quelque questions mais bon, c'est pas terrible. Le sujet c'est:

m est un réel, on note fm la fonction definie sur IR par fm(x) = me(2x) – 4x² et Cm sa courbe représentative dans (O,I,J).
l’objet du problème est d’étudier la famille des fonctions fm ainsi définies.

PARTIE A :
1) la figure semble indiquer qu’il n’y a pas de point commun
a) démontrez que par un point M(xo ;yo) donné, il passe une courbe Cm et une seule.
b) démontrez que pour tout réel a fixé, l’ordonnée du point Cm d’abscisse « a » est une
fonction croissante de m.
2)a) Vérifiez, pour tout réel x, que fm’(x) = 2e(2x) (m – 4xe(-2x) )
b) Déduisez-en que le signe de fm’(x) est le même que celui de m–4xe(-2x)

3) a)Etudier les variations de la fonction « gamma » définie sur IR par :
Gamma(x) = 4xe(-2x) et construire sa courbe représentative
b) Déduisez le signe de fm’(x) de la question précédente.

4)a) Etudier les variations de fm, selon les valeurs du paramètre m.
b) Dresser le tableau de variations de fm dans chacun des cas suivants :
* m> 2/e
* m= 2/e
* 0 < m <2/e
* m=0
* m<0

PARTIE B:
L’étude précédente prouve que, selon la valeur de m, la courbe Cm possède au plus deux points en lesquels la tangente est parallèle à l’axe des abscisses.
1)a) Si Sm est l’un de ces points de coordonnées (X;Y) démontrez que :
4Xe(-2X) = m et Y= me(2X) – 4X²
b) Déduisez en que les points Sm appartiennent a une parabole P. Donnez en une quation
cartésienne.
2) Réciproquement, tout point de la parabole P est il un point Sm ?

3)a) on note Km le point d’intersection de la courbe Cm et de l’axe des ordonnées. Démontrez que la tangente à Cm en Km passe par un point fixe I. Précisez ce point.

b) tracer les courbes……..

Voila si quelqu'un peut m'aider merci.

[Matttkd]

désolé de l'avoir posté deux fois j'ai eu un problème

[hellow3]

Salut.

A.
1.
Si deux courbes Cma et Cmb passent par le même point M(xo ;yo), alors:
yo=fma(xo) = (ma)e(2xo) – 4xo²
yo=fmb(xo) = (mb)e(2xo) – 4xo²

Si tu soustrais les 2, qu'est-ce qui se passe?

b. on fixe a, et on s'intéresse à la variable m
fm(a) = me(2a) – 4a²

-4a² est une constante.
e(2a) est une constante positive (une exponentielle ...)
L'ordonnée du point d'abscisse a évolue de façon linéaire en fonction de m. (c'est une equation de droite).
Deplus, comme le coéficient directeur est positif, ...

2.
a. m est une constante, (e(x))'=e(x),
fm(x) = me(2x) – 4x²

donc (fm(x))'=...

[Matttkd]

ok merci , par contre je bloque a partir de la 3)b), alors est ce que quelqu'un pourrait encore m'aider svp

[hellow3]

3.b.

Le signe de f'm(x) est celui de m-4xe(-2x) (question 2.b.)
Le signe de f'm(x) est celui de m-gamma(x)

Tu as étudié gamma en 3.a.
Soit la droite y=m. Si la courbe de gamma est au-dessus de la droite, gamma(x)>m donc gamma(x)-m>0 et f'(x)>0.
A contrario, si la courbe est au-dessous de la droite, gamma(x)OK?

Tu as étudié la courbe de gamma en 3.a..
Tu peux donc en déduire les intervales ou la courbe de gamma est au-dessus ou au-dessous de la droite y=m.

Tu peux faire un truc genre:
si m>=max(gamma) (a toi de le calculer, moi je l'ai pas fait)
alors f'(x)>=0 ...
si max(gamma)>= m >= 0, alors ...
si m<0, alors ...

[Matttkd]

j'ai pas compris pour la 4eme question, comment faire?

[hellow3]

4.a. Variations de fm selon m.
Tu as vu que max(gamma)=2/e, alors:
Si m>2/e, alors on a vu que f'm(x)>0 pour tout x, donc f'm strictement croissante.
Si 2/e=m, alors Il n'y a qu'un seul point ou f'm(x) s'annule (x=1/2); partout ailleurs, f'm(x) est strictement positive. Donc fm(x) est strictement croissante avec une tangente horizontale en x=1/2
Si 0 < m <2/e, alors il y a deux solutions ou f'm(x) s'annule a et b, (asi m<=0, nous avons vu que f'm(x) s'annule en 0 et que f'm est negative sur ]0;+inf[ et positive sur ]-inf;0[; donc fm(x) croissante sur ]0;+inf[ et decroissante sur ]0;+inf[

(Sous reserve d'une erreur de calcul)

[Matttkd]

ok merci , mais j'aurais besoin d'aide une dernière fois pour les question 2 et 3)a) de la partie B, après je vous embète plus lool :lol3:

[hellow3]

Tu déranges pas.

2.
Si m<=0, Sm décrit la beanche négative(x<0) de la parabole, mais pas la positive(x>0).

3.a.
Km est le point d'abscisse 0 de Cm.
son ordonnée est donc:me(2*0) – 4*0²=m
Km(0;m)

La tangente est la droit d'equation y=f'm(0)(x-0)+fm(0)
avec:fm’(x) = 2e(2x) (m – 4xe(-2x) )
donc f'm(0)=2e(0) (m-0)=2m
et fm(0)=m

y=2mx+m

On cherche le point fixe I(xi;yi)
soit deux tangentes quelconques, y=2mx+m et y=2m'x+m'
I appartient aux deux tangentes, donc: yi=2mxi+m=2m'xi+m'
2mxi-2m'xi=m'-m
2xi(m-m')=-(m-m')
2xi(m-m')/(m-m')=-1
2xi=-1
xi=-1/2

et yi=2mxi+m=2*(-1/2)m+m=-m+m=0