Ex. nbres complexes

[Anonyme]

Voici un énoncé, pourriez vous m'en donner les solutions, svp? Merci d'avance!

1.] Pour tout couple ( z ; z' ) de nombres complexes, on pose teta ( z ; z' )=z.(complexe conjugué)z'+(complexe conjugué)z.z'

a. On demande de
1. calculer

1. teta( i;3 )=
2. teta( 1+2i;-2+2i )=
3. teta( 2+i;-3+2i )=
4. teta( cos(pi/6)+isin(pi/6);cos(2pi/3)+isin(2pi/3) )=
2. prouver que pour tout couple ( z;z' ), teta( z;z' ) est un nombre réel.

b. On pose z= x + iy, z'=x' + iy' où x, y, x' et y' sont des nombres réels.
1. Calculer teta( z;z' ) en fonction de x, y, ', y'.
2. Précisez l'ensemble DELTA des points M d'affixe z tels que teta( z;1+i )=2. (racine)2; tracez DELTA.

c. On pose z=r.e(exposant)1.phi et z'=r'.e(exposant)1.phi' où r', phi et phi' sont des réels tels que r>0et r'>0.
1. Calculer teta( z;z' ) en fonction de r, r', phi, phi'.
2. Exprimez teta( z;z ) en fonction de r.
3. Précisez l'ensemble R des points M d'affixe z tels que teta( z;z )=2. TRacez R.
4. Précisez la postion relative de DELTA et R.

2.]Le plan était muni d'un repere orthonormé direct (0, u, v) (unité graphique = 3cm). A est le point d'affixe i. A tout point M du plan, distinct de A, d'affixe z, on associe le point M' d'affixe z' défini par : z' = z^2/i-z

a. Précisez l'ensemble des points M confondus avec leur image M'.

b. z est un complexe différent de i. On pose : z = x + iy, z' = x' + iy' où x, y, x' et y' sont des nombres réels. Prouvez que x' = -x(x^2+y^2-2y)/x^2+(1-y)^2. Déduisez-en l'ensemble E des points M tels que M' est sur l'axe des imaginaires purs. Tracez E.

c. Trouvez une relation liant OM, AM et OM'. Déduisez-en l'ensemble F des points M tels que M et M' soient sur un meme cercle centré en O. Tracez F

d. Dans toute cette question, le point M d'affixe z est sur le cercle de centre A et de rayon 1/2.
M' est le point d'affixe z' correspondant, et G le centre de gravité des points A, M et M'.

1. Calculez l'affixe z indice G de G en fonction de z.
2. Pourvez que le point G est situé sur le cercle de centre O dont vous préciserez le rayon.
3. Apres avoir comparé les angles u,OG et u,AM, effectuez la construction de G. Déduisez-en celle de M'.

[becirj]

Bonjour
L'exercice 1 est un exercice de calcul d'applications directes du cours. Propose éventuellement tes réponses ou indique où tu coinces

[Anonyme]

là où ça coince c'est dans le temps :(
Avec une heure et demie je devrais savoir le faire mais j'ai encore deux gros tests à revoir pour demain...

[Anonyme]

Rebonjour!
Est-ce que la réponse au 1]a. 1. 4. est bien (-6+2 racine3)/ 4 ?
Merci d'avance!

[becirj]

Je trouve 0

[Anonyme]

1.] Pour tout couple ( z ; z' ) de nombres complexes, on pose teta ( z ; z' )=z.(complexe conjugué)z'+(complexe conjugué)z.z'

a. On demande de
1. calculer

1. teta( i;3 )= 0
2. teta( 1+2i;-2+2i )= 4
3. teta( 2+i;-3+2i )= -8
4. teta( cos(pi/6)+isin(pi/6);cos(2pi/3)+isin(2pi/3) )= 0

mais pour après j'ai du mal pour le b et pour le c. tu px m'aider stpp.

[becirj]

2.
On développe. Je trouve 2(xx'+yy')

D'après le calcul précédent
conduit à l'équation d'une droite.

b)1.=
= (en utisant la définition de l'exponentielle complexe et la trigonométrie de 2 réels opposés)

2. En appliquant le résultat précédent :

3. On obtient . L'ensemble des points est donc le cercle de centre O de rayon 1.

[Anonyme]

Merci beaucoup, j'ai bien compris mnt!! l'ex 1!! mais j'ai encore une question : on me dit de précisez la position relative de D et R. Vous entendez quoi par la position relative? Je suis désolé de vous dérangé avec mon exercie. I'm really sorry. Tu sauras pas me donnez des pistes pour l'ex 2 SVP.

[Anonyme]

MErci pour ton aide, j'ai fini l'ex avec succés.

[becirj]

Exercice 2
a) Il suffit de résoudre l'équation z'=z qui conduit à une équation du second degré.
b) En multipliant par le conjugué du dénominateur, on écrit z' sous forme algébrique ce qui permet d'obtenir x'.
z' imaginaire pur lorsque x'=0 soit x=0 ou qui est l'équation d'un cercle dont il faut trouver le centre et le rayon.
(Ne pas oublier d'enlever le point A de l'ensemble trouvé)
c) Une distance correspnd à un module : , , et on a ce qui donne la relation demandée.
M et M' appartiennent à un même cercle lorsque OM=OM' et il faut utiliser la relation précédente liant les distances (on obtient une droite).
d) 1. . En remplaçant z' par son expressionon doit arriver à 2. Par hypothèse soit ce qui permet de calculer
3. ,
A l'aide de la relation du 1) tu peux trouver une relation entre les deux arguments.
Pour la construction de G il faut utiliser les questions 2 et 3