Montrer qu'une suite converge

[Edison11]

Bonjour, j'aurai besoin d'aide pour une question d'un devoir de math :

Soit la suite Un definie par Un = (5^n)/n! Montrez que la série (∑Un) converge.

J'ai essayé de le montrer en utilisant la règle de d'Alembert qui nous dit : Soit une série à termes positifs et on suppose que lim U(n+1)/Un = l
n-->+∞

Si l<1 la série converge
Si l>1 la série diverge
Si l=1 la série diverge ou converge

Néanmoins je n'ai pas réussi c'est pourquoi je vous demande votre aide! Merci bcp.

[johnny65]

bonjour,
tu trouves quoi, comme expression de Un+1/Un ?
Je ne vois aucune difficulté particulière !!

[Edison11]

Un = (5^n)/n!

U(n+1) = 5^(n+1)/(n+1)!

U(n+1)/Un = [5^(n+1)/(n+1)]/[(5^n)/n!] = [5^(n+1)/(n+1)!][n!/5^n] ce n'est pas une forme indéterminée ?

[pascal16]

5^(n+1) = 5 * 5^n
(n+1)! = (n+1) * n!

[Edison11]

ah non enfaite je trouve que ça converge vers 5 ai-je raison ? Je me suis un peu précipité...

[pascal16]

U(n+1)/Un = [5^(n+1)/(n+1)!] / [(5^n)/n!] = [5^(n+1) * n!] / [ 5^n * (n+1)!]

remplace les "n+1" par ce que j'ai déjà donné

[Edison11]

D'accord on a donc :

(5^n * 5)/(n+1) * n!) * (n!/5^n) = (5^n * 5 * n!)/((n+1)* n! * 5^n) = 5/(n+1)

donc ça converge vers 0

[pascal16]

c'est bon, tu peux ouvrir la case du calendrier de l'avent