Montrer une orthogonalité, produit scalaire?

[juliensitth]

Bonjour!

Je dois faire un exercice sur le produit scalaire ( enfin je suis presque sur que c'est à propos de ça ), mais malgrè y avoir beaucoup de temps, je ne trouve pas la solution. L'énoncé est le suivant :

Le triangle AOB est rectangle en O. I est le milieu de [AB] et H est le projeté orthogonale de O sur [AB]. Le point H se projette orthogonalement en J sur (OA) et en K sur (OB). Faire la figure et montrer que les droites (OI) et (JK) sont perpendiculaires.


Je suis vraiment bloqué, et si vous pouviez m'aider ce serait vraiment génial...

Merci et bonne journée.

[benekire2]

la figure je passe , mais sinon, disons que la relation de chasles va beaucoup t'aider :)

[juliensitth]

et, c'est aussi avec le produit scalaire?
je suis vraiment bloqué, même avec cette indication.
je ne veux pas, bien sur, que vous me fassiez tout le travail, mais une grande piste pour bien débuter serait vraiment appréciable...
merci beaucoup en tous cas.

[juliensitth]

J'ai trouvé que
OI = OA + AI
ET
JK = JO + OK

donc

OI.JK = ( OA.AI) + ( JO.OK )

est ce qu'il faut commencer comme ça? après je suis coincé...

[benekire2]

je te poste ma réponse tout de suite, c'est un exo que j'avais traité il y a quelques temps déjà ...

Méthode 1: Tel le bourrin, tu construis un repère ...

[benekire2]

Méthode 2 : La mienne

Sans aucun repère.


En réduisant ceci, puis en factorisant par 1/2 :



Or, on sait que et que

donc l'expression s'écrit également: ( l'astuce est d'ajouter ceci à l'égalité ... ou de le retrancher !! )




et par factorisation, on retrouve



encore une factorisation:



on en déduit donc que

si tu as des problèmes sur les factorisations que tu trouve pas super triviales pour toi, dis le moi ...

[juliensitth]

je comprends pas vraiment dès le debut pourquoi on part de OH et AB??
et le but de mon exercice est de prouver que OI et JK sont perpendiculaire, pas OH et AB...

[benekire2]

oula ce que j'ai fais c'est une énorme merde ...

j'ai dit n'importe quoi ... je vais la refaire , 2 minutes ...

[benekire2]

en fait c'est super simple avec la RDC:

on est d'accord que ( tout en vecteur) :
OI.JK=(OB+BI).(JO+OK)=OB.OK+BI.JO+BI.OK

or par projection orthogonale : BI.OK=BI.HK et par égalité, BI.JO=BI.HK donc l'égalité se réécrit :
OI.JK=OB.OK+2BI.HK=OB.OK+BA.HK

or OB.OK=AB.OK=-BA.OK

on réécrit :

OI.JK=BA.HK-BA.OK=BA.(HK-OK)=BA.HO=0 CQFD,

en espérant avoir été clair :)

[juliensitth]

je pense avoir comprit, merci beaucoup