Montrer que la fonction g(x) est paire.

[pezetflorian]

Bonjour, j'aurais s'il vous plait besoin d'un petit coup de main.
Voici la question qui m'embête :

Soit f la fonction définie sur ]1; + infini[ par : f(x) = 1/2x + ln ((x-1)/(3x+4))

Et soit la fonction g la fonction définie sur ]-infini;1[ U ]1; +infini[
par g(x) = f(|x|)

Justifier que g est une fonction paire.

Je sais deja qu'il faut montrer que g(x) = g(-x)


Donc que je calcule g(x), se qui revient à calculer f(|x|) soit 1/2|x| +ln((|x|-1)/(3|x|+4))

Mais pour calculer g(-x) ?

Ai-je le droit de dire g(-x) = f(|x|) car mon problème serait règlé, g(x) serait = à g(-x) et donc G serait pair?

Ou alors y a-t-il une autre façon ?
Merci d'avance pour vos réponses.

[Ericovitchi]

oui comme par définition g(x)=f(|x|) alors g(-x)=f(|-x|)=f(|x|)=g(x)
tu n'as même pas besoin d'utiliser la forme explicite de f(x) pour répondre à cette question là.

[pezetflorian]

Encore une fois : merci Ericovitchi !
C'est bien ce que je pensais, par contre c'est vrai que j'avais commencer à me compliquer avec les simplifications de f(|x|).

Par contre je dois également déduire de l'étude de f : f(x)=1/2x+ln((x-1)/(3x+4)) le tableau complet des variations de g.

Le fait que g(x) = f(|x|) me semble primordial, seulement je ne sais pas comment l'utiliser ?

[Ericovitchi]

oui réfléchis autour de g(x) = f(|x|)
en fait quand x est positif, g(x)=f(x) et les deux fonctions coïncident
et quand x est négatif ? et bien on sait que g(x) est paire et que g(-x)=g(x). donc symétrique par rapport à l'axe des y.
Donc quand x est négatif g(x) est le miroir (d'axe oy) de la partie positive de f(x) et ne coïncide plus.
ça se voit bien sur les graphes de f et g :

[pezetflorian]

Donc quand x appartient à l'intervalle ]1; +infini [ le tableau des variations de g sera donc le meme que celui de f.
Et comme g est paire; sur ] -infini ; 0 [ la variation sera l'inverse de l'autre intervalle.

Donc comme f(x) est croissante sur ]1; +infini [ on a g croissante sur ]1; +infini [ et décroissante sur ]-infini ; -1 [ , comme sur les graphes que tu as fait ?