Montrer qu'un ensemble est ouvert

[Georges10]

Bonjour à tous, svp j'aimerais m'assurer d'une chose .
Dans cet exercice, . Mon problème concerne le C. Il est dit que C n'est pas ouvert.
Ce que j'aimerais savoir c'est sur quelle distance se base t-on pour dire que (0,1+ε) ∈ à toute boule contenant (0,1).
Merci d'avance !

[Tuvasbien]

Je pense que l'énoncé considère que ce qui n'est pas le cas vu comment il a été définie. Si on considère que , alors ce n'est pas un fermé puisque si alors pour tout mais sa limite . C'est par contre un ouvert puisque si , alors la boule de centre et de rayon est incluse dans .

[capitaine nuggets]

Salut !

A priori, on parle de la norme euclidienne usuelle (de toute façon, cela importe peu, tu peux choisir n'importe laquelle puisqu'en dimension finie toutes les normes sont équivalentes). Quel que soit le rayon que l'on se donne, on peut toujours trouver un point de qui n'appartient pas à (prendre par exemple le point ). Donc n'est pas ouvert.

[LB2]

Attention à la formulation très trompeuse de l'exercice : ouvert et fermé ne sont pas deux notions opposées en maths.
On peut très bien être (dans des espaces bien choisis) à la fois ouvert et fermé, ou ni ouvert ni fermé...