La monotonie de f

[SamiaEl]

Salut , est ce que vous pouvez m'aider ??
Soit f le fonction définie par f(x)=x/(√(x²+1))
1/Déterminer le Df puis montrer que f est impaire :
Df=R

On a f(-x)=-x/(√(x²+1)) = -f(x)
Donc f est impaire

2/Montrer que -1<f(x)<1 pour quelque soit x de R :

On a x²+1>x²
Donc √(x²+1)>lxl
Alors - √(x²+1)< x<√(x²+1)
D’ où -1<x/(√(x²+1))<1
3/Montrer que ( f(x))²=1- 1/(1+x²)

on a (f(x))²-1/(x²+1) = 0
donc f(x))²=1- 1/(1+x²)

4/Etudier la monotonie de f sur Df
J'ai essayer d'utiliser le taux de variation mais j'ai pas trouver la solution
Est ce que les autres sont justes??
Merci d'avance

[chan79]

salut
pour la 3
(f(x))²=x²/(x²+1)
montre que c'est égal à 1-1/(x²+1)

Si tu as une fonction f positive sur un intervalle, et si son carré est une fonction croissante, que peux tu dire de f ?

[SamiaEl]

J'ai montrer que leur différence égale 0 donc ils sont égaux est ce que c'est faux ??

[Carpate]

Monotonie de f (avec les taux de variation)
Il suffit de l'établir sur R+ puis de la déduire sur R par suite de l'imparité de f.
Soient , montre que

[chan79]

la croissance de f peut se déduire de celle de f² sur

[SamiaEl]

la croissance de f peut se déduire de celle de f² sur

Merci mais est ce que vous pouvez m'indiquer comment??

[SamiaEl]

salut
pour la 3
(f(x))²=x²/(x²+1)
montre que c'est égal à 1-1/(x²+1)

Si tu as une fonction f positive sur un intervalle, et si son carré est une fonction croissante, que peux tu dire de f ?

Est ce qu'on peut dire que f est croissante aussi, si son carrée est croissant ??

[chan79]

Suppose que f soit positive sur un intervalle est que son carré soit une fonction croissante

si x<y alors (f(x))²<(f(y))² donc |f(x)| <|f(y)| et donc f(x) < f(y) si f est postitive

[SamiaEl]

Bon je pense que j'ai trouvé la solution merci de me corrigée
on a (f(x))²-(f(y))²=(x²-y²)/((x²+1)(y²+1))
(f(x)-f(y)) (f(x)+f(y))=(x²-y²)/((x²+1)(y²+1))

Soit x,y appartient à [0,+infini[
Donc x²+1>0 et y²+1>0 et f(x)+f(y)>0
Si x<y donc (x²-y²)/((x²+1)(y²+1))
donc f(x)-f(y)<0
f(x)<f(y)
Donc f croissante sur [0,+infini[
puisqu'il est pair don il est croissante sur ]-infini,0]

[Carpate]

j'ai trouvé la solution merci de me corrigée

horreur : j'ai trouvé la solution merci de me corriger

Si x<y donc (x²-y²)/((x²+1)(y²+1))

Déduction bizarre !

Donc f croissante sur [0,+infini[
puisqu'il est pair donc il est croissante sur ]-infini,0]

Manque de chance f n'est pas paire mais impaire
Si f était paire f serait décroissante sur

[SamiaEl]

j'ai trouvé la solution merci de me corrigée

horreur : j'ai trouvé la solution merci de me corriger

Si x<y donc (x²-y²)/((x²+1)(y²+1))

Déduction bizarre !

Donc f croissante sur [0,+infini[
puisqu'il est pair donc il est croissante sur ]-infini,0]

Manque de chance f n'est pas paire mais impaire
Si f était paire f serait décroissante sur

Oui c'est impaire
pour la déduction c'est
Si x<y donc (x²-y²)/((x²+1)(y²+1))<0

[SamiaEl]

Pardon pour c'est petit faute je suis nouvelle et je trouve des difficultés merci
est ce que ma méthode est fausse?

[Carpate]

Sur , f(x) est positive et donc la démonstration de chan79 s'applique :

Suppose que f soit positive sur un intervalle et que son carré soit une fonction croissante
si x<y alors (f(x))²<(f(y))² donc |f(x)| <|f(y)| et donc f(x) < f(y) si f est postitive

Elle ne te convient pas ?
Elle est moins calculatoire que si l'on utilise les taux de variation.

[SamiaEl]

Oui j'ai essayé avec taux de variation mais je suis bloqué dans le calcule
Est - ce - que j'ai commis une faute dans la démonstration
Merci

[Carpate]

(f(x))²-(f(y))²=(x²-y²)/((x²+1)(y²+1))

Erreur :

[SamiaEl]

(f(x))²-(f(y))²=(x²-y²)/((x²+1)(y²+1))

Erreur :

C'est ce que j'ai fait
(x²-y²)/((x²+1)(y²+1))

[SamiaEl]

(f(x))²-(f(y))²=(x²-y²)/((x²+1)(y²+1))

Erreur :

C'est ce que j'ai fait
(x²-y²)/((x²+1)(y²+1))

(x²-y²) / ((x²+1)(y²+1)

[Carpate]

Ah pardon, je n'avais pas compris ton raccourci mais reconnais que ça mérite un petit calcul intermédiaire ...

[SamiaEl]

D'accord merci^^