Modulo, pair, impair, ARITHMETIQUE

[Susy]

Bonsoir à tous. j'essaie de faire un exercice de spé maths mais je n'y arrive pas. J'aimerais bien que vous m'aidiez. Merci à tous.

On appelle (E) l'ensemble des entiers naturels qui peuvent s'écire sous la forme 9 + a² où a est un entier naturel non nul; par ex. : 10 = 9+1² ou 13 = 9+2²
On se propose d'étudier m'existence d'éléments de (E) qui sont des puissances de 3 ou 4.

2. Etude de l'équation d'inconnue a : a² + 9 = 3^n (3 exposant n) où a et n appartiennent aux entiers naturels et n>=3

a/ Montrer que si n>=3, 3^n est congru à 1 ou a 3 modulo 4.
b/ Montrer que si a existe, a est pair et en déduire que nécessairement n est pair.
c/ On pose n=2p où p est un entier naturel tel que p>1. Factoriser 3^n - a² puis en déduire que l'équation proposée n'a pas de solution.

3. Etude de l'équation d'inconnue a : a² + 9 = 5^n (5 exposant n) où a et n appartiennent aux entiers naturels et n>=2.

a/ En raisonnant modulo 3, montrer que l'équation proposée est impossible si n est impair.
b/ On pose n=2p où p est un entier naturel non nul, en s'inspirant de ce qui a été fait à la question 2.c/, démontrer qu'il existe un unique entier naturel a tel que a²+9 soit une puissance de 5. On donnera la valeur de a.


j'ai trouvé pour la 2)a/ mais je ne vois pas pourquoi n est nécessairement pair. Vous pourriez m'aider, et pour la suite aussi s'il vous plaît ?

Merci bien pour votre aide.

[Susy]

je sais que c'est compliqué, mais j'aimerais bien un peu d'aide svp !

[fahr451]

bonsoir
2a)

3^n modul0 4 est soit 1 ( si n pair) soit 3 ( si n impair) donc impair

or a^2 = 3^n -9 = impair -impair = pair

donc a^2 pair donc a pair ( le carré d un impair étant impair)
donc a^2 est congru à 0 modulo 4 , donc modulo 4 on a :

3^n = 9 = 1 (mod 4 ) ce qui implique n pair ( si n impair ça serait 3 mod 4 )

[Susy]

Merci bien !