Miroirs paraboliques

par **Dinozzo13** » 17 Aoû 2009, 01:16

Bonjour, je suis tombé sur un exercice qui me pose beaucoup de difficultés, c'est clair, je sais pas comment procéder :cry:

.
Je vous donne l'énoncé :

Dans un repère orthonormal,

est la parabole d'équation

,

est un réel et

la droite d'équation

. La droite

coupe

en un seul point

et

est la symétrique de

par réflexion d'axe de la tangente an

à

. Prouver que toutes les droites

passent par un point fixe

appelé foyer de

.

Merci d'avance pour votre aide.

par **Zweig** » 17 Aoû 2009, 05:20

Salut,

Une propriété, parmi plein d'autres, de la parabole ^^

Sur GeoGebra, en faisant varier les coordonnées de

, tu remarques que le point

est traversé par chacune des droites

. C'est donc le point recherché. Voici la démarche à avoir :

1) Détermine l'équation de la tangente au point

.

2) Montre que l'équation de

est

3) Conclus.

par **Dinozzo13** » 17 Aoû 2009, 05:29

on va pouvoir avancer ^^, pour 1) je trouve que l'équation de la tangente au point

est

.
Par contre après le 2), c'est autre chose, pourrais-tu m'éclairer ?

par **Zweig** » 17 Aoû 2009, 05:35

Oui, j'ai volontairement passé sous silence quelques petits détails pour le 2) :we:

L'idée, pour déterminer l'équation d'une droite, c'est de déterminer les coordonnées de 2 points de cette dernière. Comme

passe par

, tu connais déjà un point. Maintenant on considère le point

qui est sur la droite

. On veut connaître les coordonnées de son point image

, symétrique par rapport à la tangente. La symétrie par rapport à une droite vérifie deux propriétés : orthogonalité et équidistance. A partir de ça, tu peux t'en sortir.

par **Dinozzo13** » 17 Aoû 2009, 05:44

ah oui pas bête, je vais chercher ^^

par **Zweig** » 17 Aoû 2009, 05:48

J'ai modifié mon message. Il est plus clair maintenant.

par **Zweig** » 17 Aoû 2009, 05:52

Pour t'aider, montre que

.

par **Dinozzo13** » 17 Aoû 2009, 05:56

non je ne voie vraiment pas :cry: , j'ai le sentiment de pas être loin mais ça ne veut pas sortir :triste:

par **Zweig** » 17 Aoû 2009, 06:00

Ok.

i) orthogonalité : (AA') perpendiculaire à la tangente. Traduis ça mathématiquement.

ii) Equidistance : Soit I=mil[AA']. Alors I appartient à la tangente. Traduis ça mathématiquement.

Tu auras donc un système.

par **Dinozzo13** » 17 Aoû 2009, 06:06

i) (AA') perpendiculaire à la tangente

admettons, qui a pour équation

et (AA') a une équation de la forme y=bx+c, par conséquent, 2ab=-1 donc

si a non nul.

par **Dinozzo13** » 17 Aoû 2009, 06:12

ii) soit I le milieu de [AA']. Or

est la symétrique de

par réflexion d'axe de la tangente donc A' est le symétrique de A par rapport à la droite perpendiculaire à la tangente en

, et par conséquent le milieu I de [AA'] appartient à cette même droite perpendiculaire à la tangente en

.

par **Dinozzo13** » 17 Aoû 2009, 06:14

après je suis perdu :cry:

par **Zweig** » 17 Aoû 2009, 06:23

i) Oui, c'est la bonne relation à utiliser

, avec

le coefficient directeur de

, que tu peux déterminer comme tu connais les coordonnées de

et

, ça te donnera une première relation en fonction de

,

et

.

ii)

. Exprime

et

en fonction de

,

et

à l'aide des relations fortes connues ...

Tu obtiens donc un système à deux inconnues (

et

) et avec un paramètre

. Isole

et

en fonction de

, tu auras donc les coordonnées de

, puis l'équation de la droite

.

par **Dinozzo13** » 17 Aoû 2009, 06:40

Zweig a écrit:avec le coefficient directeur de , que tu peux déterminer

Là je ne vois pas :doh:

par **Zweig** » 17 Aoû 2009, 06:45

par **Zweig** » 17 Aoû 2009, 16:40

Alors ? :id:

par **Dinozzo13** » 17 Aoû 2009, 23:30

Zweig a écrit:i) orthogonalité : (AA') perpendiculaire à la tangente. Traduis ça mathématiquement.

(AA') ne serait pas parallèle à la tangente plutôt ?

par **busard_des_roseaux** » 18 Aoû 2009, 06:00

Dinozzo13 a écrit: est la symétrique de par réflexion d'axe de la tangente à à .

bah non, c'est la réflexion par rapport à la normale en

par **Dinozzo13** » 18 Aoû 2009, 08:02

alors, que dois-je faire ?

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