Mettre en évidence une bijection

[alexis6]

Bonjour,

Pour démontrer qu'une application est bijective, quels outils peut-on utiliser? J'en connais seulement 3 personnellement.

- Je sais que l'on peut démontrer que cette application est injective et surjective.
- Je connais également une autre méthode, mais je ne sais si elle est valable: il s'agit de mettre en évidence une application réciproque. Ce qui me gène, c'est que pour moi, montrer qu'une application admet une réciproque premet de conclure seulement sur l'injectivité, et pas sur la surjectivité...
- On peut aussi pour une fonction f: A-->B, quand A et B sont finis, montrer que Card(A) = Card(B)

Avez-vous d'autres méthodes?
Merci.

[mrif]

La 2ème caractérisation montre également la surjectivité, car une application f de A dans B est bijective SSI il existe g de B dans A tel que et .
Soit y dans B, comme on a , on voit bien que y a pour antécédent g(y), ce qui montre bien la surjectivité.

Ta dernière caractérisation (sur le cardinal des 2 ensembles) n'est pas suffisante. Elle l'est uniquement quand l'application est injective ou surjective.

[capitaine nuggets]

Bonjour,

Pour démontrer qu'une application est bijective, quels outils peut-on utiliser? J'en connais seulement 3 personnellement.

- Je sais que l'on peut démontrer que cette application est injective et surjective.
- Je connais également une autre méthode, mais je ne sais si elle est valable: il s'agit de mettre en évidence une application réciproque. Ce qui me gène, c'est que pour moi, montrer qu'une application admet une réciproque premet de conclure seulement sur l'injectivité, et pas sur la surjectivité...
- On peut aussi pour une fonction f: A-->B, quand A et B sont finis, montrer que Card(A) = Card(B)

Avez-vous d'autres méthodes?
Merci.

Salut !

- Oui, pour montrer qu'une application est bijective, il faut et il suffit de montrer que est injective et surjective.
- Supposons maintenant qu'on ait une application telle que "pour tout " et "pour tout ". En effet, la première condition équivaut à " surjective et injective" et la seconde condition équivaut à " injective et surjective". Alors est bijective et sa bijection réciproque est
- Tu as aussi la caractérisation suivante : si et sont deux ensembles finis de même cardinal alors :
[CENTER] [/CENTER]

[zygomatique]

salut

une autre méthode: si les ensembles E et F sont munis d'un ordre (total ?) alors ::

si f : E --> f(E) est strictement monotone alors f est bijective ....

[tototo]

Bonjour,

Pour démontrer qu'une application est bijective, quels outils peut-on utiliser? J'en connais seulement 3 personnellement.

- Je sais que l'on peut démontrer que cette application est injective et surjective.
- Je connais également une autre méthode, mais je ne sais si elle est valable: il s'agit de mettre en évidence une application réciproque. Ce qui me gène, c'est que pour moi, montrer qu'une application admet une réciproque premet de conclure seulement sur l'injectivité, et pas sur la surjectivité...
- On peut aussi pour une fonction f: A-->B, quand A et B sont finis, montrer que Card(A) = Card(B)

Avez-vous d'autres méthodes?
Merci.

Bonjour,

http://fr.wikipedia.org/wiki/Bijection

http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_la_bijection

Si f est continu et strictement monotone alors le theoreme de la bijection s'applique.