Métode D'Euler, y'a t-il des Dieux en maths?

[zebestdu57]

Je préviens tout de suite, je cherche de l'aide pour un exercice compliqué.

f est une fonction dérivable sur [0 ; 1] telle que f(0) = 0 et pour tout x de [0 ; 1], f’(x) = 3x².
Vous allez étudier l’influence de la valeur du pas h choisi dans la méthode d’Euler sur la précision de
l’approximation de la courbe représentant f.

1) Méthode d’Euler avec un pas de 0,2 :
a) On choisit comme pas h = 0,2 et on découpe donc l’intervalle [0 ; 1] à l’aide des nombres x0 = 0 ; x1 = 0,2 ;
x2 = 0,4 ; … ; x5 = 1.
On pose y0 = 0 et pour tout entier i tel que 1 ;) i ;) 5, on note yi la valeur approchée de f(xi) obtenue par la
méthode d’Euler.
Démontrer que pour tout i tel que 1 ;) i ;)4, yi+1 = yi + 0,2 × 3 xi².
b) Construire la partie tramée de la feuille de calcul ci-dessous dans un document OpenOffice Calc.
Expliquer par exemple la formule qui définit la cellule D3.

J'ai fait le tableau et je sais que D3=D2 + 0,2*3*C2*C2 mais je ne sais pas comment l'expliquer avec une phrase précise. Sinon le "a" je n'y arrive pas. Après, l'exercice continue mais si on m'aide pour ça, ça sera déjà bien pour l'instant.

[Sh0nty]

Bonjour zebestdu57,

Pour le a), il te suffit d'appliquer la formule de l'approximation affine : pour h "petit" (0,2 dans ton cas), on a


Sh0nty

[zebestdu57]

Je vois. Merci beaucoup, enfin je retrouve la formule du cours qui m'avait échappé et que je retrouvais plus nul part. Mais il y a quelque chose d'autre où je bloque. C'est comment calculer les valeurs f(xi) de la fonction et l’erreur que l’on commet en remplaçant f(xi) par la valeur approchée yi.

Je trouve çà compliqué...

[Arnaud-29-31]

Salut,

On sait que

La méthode d'Euler consiste à dire que si h est suffisamment petit, on peut écrire que
et donc .
Tes valeurs de (et ) se calculent de proche en proche.
Évidemment plus h est petit, plus c'est précis.

[zebestdu57]

f(xi) c'est f(x+h) ? Je m'embrouille. Le problème aussi c'est que j'arrive pas à vous envoyer de tableaux avec les valeurs de i, xi, yi, f(xi) et erreur.

Mais en gros ça fait ça:

A B C D E F
h i xi yi f(xi) erreur
0,2 0 0 0 0 0
1 0,2 0 0,008 0,008
2 0,4 0,024 0,064 0,040
3 0,6 0,120 0,216 0,096
4 0,8 0,336 0,512 0,176

Je sais que je me répète mais je ne vois où vous voulez en venir. Je comprends les formules mais en quoi ceux-ci me permettent de calculer les valeurs de f(xi) et de erreur? Quel calcul ils ont fait pour obtenir ces valeurs?

[zebestdu57]

Aïe j'arrive même pas à faire de bons tableaux. Cette exercice est l'un des pires que j'ai jamais eu a faire. :hum:

[zebestdu57]

Ah c'est bon je sais. J'ai oublié de dire qu'on avait dans l'énoncé démonter que f est défini par:
f(x)x^3.
Ca change tout.
F(xi)=xi*x^3. Tout simplement. :ptdr:
Je me suis cassé la tête. :marteau:

Par contre.... qu'est que la ligne polygonale? Dans mon tableau, elle correspond à quoi? C'est la droite qui se rapproche le plus possible de la courbe quand h tend le plus possible vers 0 ?

[zebestdu57]

Personne ?

[Arnaud-29-31]

La ligne polygonale, ca doit être la ligne brisée qui joint tout tes points.

Tu as donc trouvé le début de l'exo ?


Tu dois en principe toruver :

Et ca donne ca : (en rouge la ligne polygonale joignant les points obtenues par la méthode d'Euler avec le pas de 0.2 et en vert la courbe réelle)