Méthode de résolution d'une équation

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pgordon
Messages: 1
Enregistré le: 06 Mai 2022, 13:40

méthode de résolution d'une équation

par pgordon » 06 Mai 2022, 13:46

Bonjour à tous, j'essaie de prouver un petit énoncé :

Soit p appartient à N et (a,b,c) prennent les valeurs p ou 2p
Soit (2a+b^2)/(c+1) = p^2
Alors p=0 ou p=1 ou p=2 ou p=4

J'aimerais trouver une méthode qui permet de prouver cela sans dénombrer et tester les 8 combinaisons possible pour a,b,c.

Cordialement,

P.G



vicllo
Messages: 2
Enregistré le: 19 Mai 2022, 23:23

Re: méthode de résolution d'une équation

par vicllo » 20 Mai 2022, 00:02

Bonjour,
Je doute qu'on puisse réellement éviter les disjonctions de cas, voici néanmoins quelques propositions :
Puisque a,b,c prennent les valeurs p ou 2p, on va prendre x,y,z tels que a=x*p, b=y*p, c=z*p.
Ainsi, x,y,z valent soit 1, soit 2.

On élimine d'emblée le cas p = 0, on suppose p > 0 pour la suite
On réécrit l'équation : (2xp+(yp)²)/(zp+1) = p²
Or zp + 1 > 0, donc on peut multiplier par zp+1 des deux côtés, et diviser par p des deux côtés
2x+y²p = zp² + p
On met tous les termes du même côté, pour obtenir une équation du 2nd degré :
zp² + (1-y²)p - 2x = 0
On peut alors calculer le discriminant :
Delta = (1-y²)² + 8zx
On remarque qu'il est strictement positif, donc on aura 2 solutions réelles pour p
De plus, on remarque que si y = 2, alors Delta est impair, donc ce n'est pas un carré parfait (on verra plus tard pourquoi c'est utile)
En revanche si y = 1, alors Delta = 8zx, donc Delta = 8, 16 ou 32. Or ici seul 16 est un carré parfait, il est obtenu si zx = 2 (donc si seul l'un des deux entre z et x vaut 2, l'autre 1)

Pourquoi veut-on que Delta soit un carré parfait ?
Car la solution de notre équation du 2nd degré s'écrit :
p = (y²-1 +ou- Racine(Delta))/(2*z)
Ainsi, si Racine(Delta) n'est pas entier, p ne le sera jamais !
On veut donc avoir y = 1, et zx = 2
Dès lors, p = (1-1+Rac(0+2*8))/(2z) = 4/(2z) = 2/z
Donc selon la valeur de z : p = 2 ou p = 1
On oublie pas le cas p = 0 du début
Et cela termine

 

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