Méthode pour système de deux équations à deux inconnues

[Greggy]

Bonjour,

Je n'ai habituellement pas de problème pour résoudre les systèmes de deux équations à deux inconnues. En lisant toutefois une description plus abstraite de la méthode, je vois que, pour deux équations:

ax + by = C
cx + dy = D

(i) on commence par exprimer y en fonction de x : y = (C-ax)/b (jusque là pas de problème),

(ii) on reporte cette expression dans la deuxième équation: cx+d[(C-ax)/b] = D (toujours pas de problème),

(iii) on trouve alors: x = (dC-bD)/(ad-bc). Et c'est là que je bloque. Ma question est donc: comment passe-t-on de l'étape (ii) à l'étape (iii)? C'est sans doute très bête, mais je n'y arrive tout simplement pas.

Merci d'avance

[chan79]

(ii) on reporte cette expression dans la deuxième équation: cx+d[(C-ax)/b] = D (toujours pas de problème),

salut
bcx+dC-adx=bD
x(bc-ad )=bD-dC

[Lostounet]

cx + d(C-ax)/b = D

Donc
cx + Cd/b - adx/b=D

Donc
x(c - ad/b)=D-Cd/b

x = (D-Cd/b)/(c-ad/b) = (Cd-bD)/(ad-bc) en ayant multiplié par -b en haut et en bas

[Ben314]

Salut,

(ii) on reporte cette expression dans la deuxième équation: cx+d[(C-ax)/b] = D (toujours pas de problème),
(iii) on trouve alors: x = (dC-bD)/(ad-bc).

Il y a évidement un énorme problème, à savoir que le résultat, c'est effectivement celui là, mais à condition que ad-bc soit non nul et c'est archi super important de le comprendre vu que ce cas de figure se présente quand même extrêmement souvent (et plus tu montera dans tes études, plus ça sera surtout celui là qui t’intéressera)

Sans parler du fait que, géométriquement parlant, tes deux équations, c'est des équations de droites donc ce que tu cherche, c'est en fait l'intersection de deux droites et qu'il est bien clair qu'on ne peut pas faire "l'impasse complète" sur le cas particulier où les deux droites sont parallèles (ne serait-ce que, justement, pour être capable de répondre à la question "à quelle condition les droites d'équation ax+by=C et cx+dy=D sont-elles parallèles ?" => Réponse "lorsque ad-bc=0")

[Greggy]

Merci mille fois, vous m'ôtez une épine du pied !