Méthode de Hörner

par **Mathx** » 21 Juil 2010, 20:36

Bonjour . comment peut on factoriser le polynôme P défini sur R par P(x)= (a-1)x^3 + a (1-a^3)x^2+ a(a^3-1)x + (1-a) a^6 en utilisant la méthode de Horner ? (a est un réel différent de 1). j'ai vu un tableau avec une colonne avec a -1 et 0 en dessous mais je comprends pas trop... merci

par **Dinozzo13** » 21 Juil 2010, 21:41

Salut, connaîtrais-tu au moins une racines de P ?

P.S. : Je réécris le polynôme pour que ça soit plus clair ^^

par **Mathx** » 21 Juil 2010, 21:54

Je dirais a et a^2 non ?

par **Dinozzo13** » 21 Juil 2010, 22:03

Bah, je ne sais pas, je te demande.
Si a et a² sont racines de P alors ils vérifient nécessairement :
P(a)=0 et P(a²)=0.
Mais à mon avis cela m'étonnerai.
Essaye de calculer P(x) pour x= -3, -2, -1, 0, 1, 2 et 3.
Tiens moi au courant si pour une de ces valeurs P(x)=0.
Je ne connais qu'une méthode ou une racine est connue pour le degré 3, sinon, je pense pas pouvoir t'aider :triste:

par **Mathx** » 21 Juil 2010, 22:09

Ça marche pour a et a^2. Pour tes valeurs ça fait pas des racines

par **Dinozzo13** » 21 Juil 2010, 22:20

:hum: a et a² ne sont pas racine de P

P ne s'annule pas quelque soit

par **Mathx** » 21 Juil 2010, 22:34

J'ai ft une erreur d'enoncé ! C 'est a^3 et non a facteur de (a^3-1)x

par **Ben314** » 21 Juil 2010, 23:19

Salut,
Ton polynôme est donc :

Effectivement

et

sont des racines de P.

Comme

est racine de P, c'est que

et, comme P est de degrés 3, le

et de degrés 2 et on doit avoir :

Si on développe le terme de droite, le terme en

s'obtient en faisant

.
Comme ce terme doit valoir

, c'est que

:

Si on développe le terme de droite, le terme en

s'obtient en faisant

.
Comme ce terme doit valoir

, c'est que

:

Si on développe le terme de droite, le terme en

s'obtient en faisant

.
Comme ce terme doit valoir

, c'est que

:

Enfin, pour vérifier que l'on ne s'est pas trompé, on regarde le terme constant obtenu en développant :

O.K.

La "méthode de Horner", c'est ça présenté dans un tableau.

par **Mathx** » 22 Juil 2010, 08:04

merci pour ta réponse très détaillée. j'ai trouvé un tableau sur internet qui calcule avec cette méthode P(a) et P(a²).
Voici le tableau :
[url="http://www.hebergementimages.com/image-d02279cb130a4ebf4cf39d7674ddca14_Sans-titre.PNG.html"]

[/url]

Si je comprends bien, en tête de colonne, il y a les coeff du polynôme, c'est ça ?

Et comment fait on ensuite pour arriver à ce tableau ?
merci

par **Olympus** » 22 Juil 2010, 11:00

Juste à Dinozzo : tes racines entières ne servent pas trop à quelque chose, car il faudrait qu'elles divisent la constante du polynôme, c'est à dire (a-1)a^6 , or ce n'est pas nécessairement un entier .

PS : sinon je ne peux pas aider, car je ne connais pas la méthode de hörner .

par **Ben314** » 22 Juil 2010, 11:59

Bon, il m'a fallut 2 plombes pour comprendre à quoi correspond ton tableau...
Les trois premières lignes correspondent à la division de P(x) par (x-a) :
Dans la première ligne tu met les coeffs de P puis tu procède colonne par collone (uniquement pour les lignes 2 et 3) :

Première colonne : en C1L2 (colonne1, ligne 2) tu met mécaniquement un 0 (à partir de la colonne 2, on mettra le reste du "coup d'avant" mais là, il y a pas de "coup d'avant) puis dans C1L3 tu met la somme C1L1+C1L2 donc ici (a-1)+0=a-1

Deuxième colonne : en C2L2 tu met 'a' (car on divise par x-a) fois le contenu de la case C1L3 c'est à dire a.(a-1)=a²-a puis en C2L3 tu met la somme C2L1+C2L2, c'est à dire a(1-a^3)+(a²-a)=a²-a^4.

Troisième colonne : en C3L2 tu met 'a' fois le contenu de la case C2L3 c'est à dire a.(a^2-a^4)=a^3-a^5 puis en C3L3 tu met la somme C3L1+C3L2, c'est à dire a^3(a^3-1)+(a^3-a^5)=a^6-a^5.

Quatrième colonne : en C4L2 tu met 'a' fois le contenu de la case C3L3 c'est à dire a.(a^6-a^5)=a^7-a^6 puis en C4L3 tu met la somme C4L1+C4L2, c'est à dire (1-a)a^6+(a^7-a^6)=0.
Le fait que tu trouve 0 à la fin montre que ton polynôme est bien divisible par (x-a).

Essaye de faire la division de P par (x-a) en présentant comme dans mon précedent post et tu constatera que ce sont exactement les mêmes calculs que ceux que l'on vient de faire ici. Seule la présentation est différente (la présentation sous forme de tableau permet d'économiser de l'encre mais j'aime pas bien cette méthode du fait que celui qui l'a jamais vu, et bien y capte que dalle à ce qu'on fait comme calculs et pourquoi ça marche)

Enfin les 3 dernières lignes du tableau correspondent à la division de (a-1)x²+(a^2-a^4)x+(a^6-a^5) [qui est le résultat obtenu lors de la première division] par (x-a^2).

par **Mathx** » 22 Juil 2010, 13:22

merci, j'ai tout compris

et pour la dernière facto, comment passe t-on de (x_a)(x-a²)[(a-1)x+(a^3-a^4)] à (x_a)(x-a²)(a-1)(x-a^3) ?

par **Ben314** » 22 Juil 2010, 14:09

Tu déconne !!!
On met (a-1) en facteur dans (a-1)x+(a^3-a^4) = (a-1)x-(a-1)a^3 !!!

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