Méthode des rectangles, théorème des gendarmes

[Reznov]

Bonjours à tous et à toutes, j'ai un exercice à faire en maths mais je n'arive pas à faire deux questions:



Il faut fare la méthode des rectangles afin d'estimer l'aire sous la courbe de la fonction exponentielle sur l'intervalle [0; 1]. On a comme notations dans l'exercie An et Bn.

1 ) Afficher avec géogébra les rectangles inférieurs et supérieurs dans la cas où n = 5


2) Démontrer que An = (1 / n) * ((e - 1) / (e^1/n) - 1) Et Bn = An * e^(1/n)

( indication, on sera amené à utiliser un résultat sur la somme des termes consécutifs d'une suite géométrique ).

3 ) Avec le thérème des gendarmes et sachant lim quand x tend vers 0 de ((e^(x) - 1) / x = 1.
Donner la valeur exacte de A.


Voilà, c'est surtout la 2 et 3 que je n'arrive pas à faire, merci d'avance de vos réponses :)

[Manny06]

Bonjours à tous et à toutes, j'ai un exercice à faire en maths mais je n'arive pas à faire deux questions:



Il faut fare la méthode des rectangles afin d'estimer l'aire sous la courbe de la fonction exponentielle sur l'intervalle [0; 1]. On a comme notations dans l'exercie An et Bn.

1 ) Afficher avec géogébra les rectangles inférieurs et supérieurs dans la cas où n = 5


2) Démontrer que An = (1 / n) * ((e - 1) / (e^1/n) - 1) Et Bn = An * e^(1/n)

( indication, on sera amené à utiliser un résultat sur la somme des termes consécutifs d'une suite géométrique ).

3 ) Avec le thérème des gendarmes et sachant lim quand x tend vers 0 de ((e^(x) - 1) / x = 1.
Donner la valeur exacte de A.


Voilà, c'est surtout la 2 et 3 que je n'arrive pas à faire, merci d'avance de vos réponses

je suppose que ak est un rectangle inferieur ses côtés ont pour longueur 1/n et e^(k/n)

donc son aire est (1/n)e^(k/n)

An est la somme des aires des rectangles inférieurs donc la somme pour k variant de 0 à (n-1) de ak
tu mets (1/n) en facteur et tu appliques la somme des termes d'une suite géométrique de peremier terme 1 et raison e^(1/n)

[Reznov]

je suppose que ak est un rectangle inferieur ses côtés ont pour longueur 1/n et e^(k/n)

donc son aire est (1/n)e^(k/n)

An est la somme des aires des rectangles inférieurs donc la somme pour k variant de 0 à (n-1) de ak
tu mets (1/n) en facteur et tu appliques la somme des termes d'une suite géométrique de peremier terme 1 et raison e^(1/n)

Pour commencer j'ai An = 1/an *(( e^1 + e^2........ + e^(n-1))
Comment fais je pour la suite ?

[Manny06]

Pour commencer j'ai An = 1/an *(( e^1 + e^2........ + e^(n-1))
Comment fais je pour la suite ?

il te manque un terme
An=(1/n)(1+e^1/n+e^2/n+......+e^(n-1)/n)


tu appliques 1+q+q²+......+q^(n-1)=(1-q^n)/(1-q)

[Reznov]

il te manque un terme
An=(1/n)(1+e^1/n+e^2/n+......+e^(n-1)/n)


tu appliques 1+q+q²+......+q^(n-1)=(1-q^n)/(1-q)

pourquoi q ?

[Reznov]

pour l'instant j'ai le debut normalement soit
An = 1 /n * (f(0) + f(1/n) + f(2/n).... + f((n - 1) / n)))

Bn = 1 / n * ((f1/n) + f(2/n)........ + f( n / n ))

[Manny06]

pour l'instant j'ai le debut normalement soit
An = 1 /n * (f(0) + f(1/n) + f(2/n).... + f((n - 1) / n)))

Bn = 1 / n * ((f1/n) + f(2/n)........ + f( n / n ))

ces deux ecritures sont correctes
je te rappelai seulement la formule classique qui donne la somme des n premiers termes d'une suite géométrique de premier terme 1 et de raison q

[Reznov]

Ok :)

Logiquement je remplace par l'exponentielle soit:
An = 1/n * [(e^0) / e^n) + (e^1) / (e^n) + ...... + (e^n - 1) /( e^n)

Bn = 1 /n * [(e^1) / (e^n) +...... + (e^n) / e^(n)]

[Reznov]

Ok

Logiquement je remplace par l'exponentielle soit:
An = 1/n * [(e^0) / e^n) + (e^1) / (e^n) + ...... + (e^n - 1) /( e^n)

Bn = 1 /n * [(e^1) / (e^n) +...... + (e^n) / e^(n)]

Mias je n'arrive jamais en testant des choses à trouver ceux qu'on doit trouver ...

[Reznov]

Je n 'y arrive toujours pas svp

[Manny06]

Je n 'y arrive toujours pas svp

le ne comprends rien à ce que tu écris
An=(1/n)(1+e^(1/n)+e^(2/n)+.......+e^(n-1)/n)=(1/n)(1-e^(n/n))/(1-e^(1/n))

[Reznov]

Comment as tu obtenus la reponse ?
je ne comprends pas trop sans la démarche

[Manny06]

Comment as tu obtenus la reponse ?
je ne comprends pas trop sans la démarche

je t'ai déjà écrit que c'est la somme destermes d'une suite géométrique
tu as du voir cette formule en cours
1+q+q²+......+q^(n-1)=(1-q^n)/(1-q) pour q#1

pour le démontrer on appelle cette somme Sn (à gauche)
et on calcule Sn-qSn qui est égale à 1-q^n


c'est d'ailleurs donné comme indication dans ton énoncé

indication, on sera amené à utiliser un résultat sur la somme des termes consécutifs d'une suite géométrique ).

[Reznov]

le ne comprends rien à ce que tu écris
An=(1/n)(1+e^(1/n)+e^(2/n)+.......+e^(n-1)/n)=(1/n)(1-e^(n/n))/(1-e^(1/n))

C'est surtout le (1-e^(n/n)), pourquoi ce n'est pas e^(n-1/n))

[Reznov]

C'est surtout le (1-e^(n/n)), pourquoi ce n'est pas e^(n-1/n))

Nan, c'est bon

Pour Bn, j'ai, Bn = 1 / n * ((f1/n) + f(2/n)........ + f(n/n))

Bn = 1/n * [(e^1/n) + (e^2/n) ..... + (e^(n/n))]

Comment faire pour avoir la relation à trouver ?

[Reznov]

Help pour Bn svp

[Manny06]

Help pour Bn svp

vérifie ce qu'on te donne comme indication
Bn = An * e^(1/n)