Méthode d'archiméde pour calculer pi

[PaM...]

Bonjour

J'ai un exercice à faire et je bloque au début.

Soit un cercle de rayon 1, on construit pour tout n>=1 un polygone régulier Pn inscit dans le cercle et ayant cotés.
Calculer Pn en fonction de n.


exemple pour n=2

Voila comment je fais :
le triangle BB'O est isocéle en O, donc la médiatrice de BB' et la hauteur issue de O sont confondus donc je peux ecrire : BB'=2sin(pi/12)
le polygone à 12 coté donc P2=24sin(pi/12)
meme méthode pour n et je trouve


et dans le bouquin on est censé trouver


Je trouve pas mon erreur et ca m'énerve.
Merci d'avance pour votre aide.

PS : j'ai modifier mon erreur c'était bien sinus et non pas cosinus

[Frednight]

on ne peut pas "calculer" un polygone. tu as dû oublier un mot. serait-ce le périmètre que l'on te demande de calculer?

[jlq]

on ne peut pas "calculer" un polygone. tu as dû oublier un mot. serait-ce le périmètre que l'on te demande de calculer?

Pour mois c'est sin pas cos mais avec ta formule.

[Frednight]

Pour mois c'est sin pas cos mais avec ta formule.

pareil de mon côté.

[PaM...]

au temps pour moi la 1er question de Frednigth était la plus importante, il ne s'agit pas du périmètre comme je pensais mais du demi-périmetre ... donc on est tous d'accord sur le résultat

J'ai continué l'exercice et plus loin on me demande que vaut la limite de Pn quand n tend vers l'infini, la réponse me parait être évidement pi est ce qu'il y a moyen de le démontrer ?

[Frednight]

au temps pour moi la 1er question de Frednigth était la plus importante, il ne s'agit pas du périmètre comme je pensais mais du demi-périmetre ... donc on est tous d'accord sur le résultat

J'ai continué l'exercice et plus loin on me demande que vaut la limite de Pn quand n tend vers l'infini, la réponse me parait être évidement pi est ce qu'il y a moyen de le démontrer ?

faut que tu fasses une limite standard avec un changement de variable

[PaM...]

Merci, je suis pas très à l'aise avec les limites

[PaM...]

Dernière question concernant cet exercice
Une fois qu'on a calculé le demi-périmetre Pn du polygone inscrit dans le cercle, on calcule Qn le demi-périmetre du polygone exinscrit au cerle.
On montre que Pn est une suite croissante
On montre que Qn est une suite décroissante
Et que leurs limites en l'infinie est pi

Ma question est : une fois arrivé là n'est ce pas suffisant pour affirmer que Pn et Qn sont adjacente ?
(dans le livre il faut encore démontrer que Qn-Pn<=1/2^n)

[Archibald]

Hum, deux suites et sont adjacentes ssi :

est une suite croissante
est une suite décroissante
(leur différence converge vers 0)

[PaM...]

oui mais à partir du moment où on a montré que les 2 suites convergent vers la même valeur ça n'implique pas : ?

Je vois pas de contre exemple, 2 suites qui convergent vers la même valeur est pour moi équivalent à la différence entre ces 2 suites converge vers 0.

Je suppose que mon raisonnement est faux mais je vois pas pourquoi.

[Archibald]

Oui, bien sûr, cela va de soi.