Médianes et point d'intersection

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DomK
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Médianes et point d'intersection

par DomK » 20 Oct 2020, 03:22

Bonjour à vous,

ceci est mon premier message sur votre forum, n'hésitez pas à me dire si je ne suis pas dans la bonne section.

Voici mon énoncé à démontrer : les médianes d'un triangle se coupent en un même point, et ce, au 2/3 de leurs longueurs.

J'ai noté D le milieu de AB, E le milieu de BC et F le milieu de AC.

Je dois faire une démonstration à l'aide de vecteurs. Je tiens à préciser (suite à des recherches sur Internet) que je n'ai pas vu la notion de centre de gravité.

J'ai posé :
BP = xBF
AP = yAE
CP=zCD

J'ai cherché à construire un système d'équations linéaires en utilisant les vecteurs AB et AC.

BP = x(-AB + 1/2 AC)
AP = y/2(AB + AC)
CP = z(-AC + 1/2 AB)

Je crois que jusqu'ici mon raisonnement est bon. Toutefois, c'est la suite qui m'embête :

AP - BP = AP + PB = AB

En utilisant les expressions trouvées précédemment :
AB = (y/2 + x)AB +(-x/2 + y/2)AC

J'obtiens donc : 1 = y/2 + x et 0 = -x/2 + y/2

J'obtiens alors x = y = 2/3

Je procède similairement en faisant AP - CP = AC et j'obtiens z = 2/3

Suis-je dans l'erreur ?

Si je ne suis pas dans l'erreur, comment faire pour montrer que le point P est bien le point d'intersection des trois médianes ?

Je pensais additionner ainsi :

BP + AP + CP = 2/3 BF + 2/3 AE + 2/3 CD = 2/3(BF + AE + CD) = 2/3(j'ai développé tout en termes de AB et AC et j'ai obtenu le vecteur nul) = vecteur nul

Par conséquent, comment puis-je justifier que le point P est bien le point d'intersection ?

Je vous remercie à l'avance pour vos commentaires :)

DomK

PS : Je suis conscient que je n'ai pas écrit en TeX, mais ce sont bien des vecteurs ;)



Black Jack

Re: Médianes et point d'intersection

par Black Jack » 20 Oct 2020, 10:36

Bonjour,

Une méthode parmi plein d'autres ...

On choisit un repère tel que : A(0 ; 0) , B(0 ; a) et C(b ; c)

On a immédiatement tes points : D(a/2 ; 0) , E((a+b)/2 ; c/2) et F(b/2 ; c/2)

On a donc tout ce qu'il fait pour écrire les équations des droites (AE) et (BF) et ensuite en résolvant le système de ces 2 équations, trouver les coordonnées de leur point de rencontre.

On trouve alors les coordonnées de ce point de rencontre qui sont : P((a+b)/3 ; c/3)

On calcule |AP|² = ((a+b)/3)² + (c/3)²
et on calcule |AE|² = ((a+b)/2)² + (c/2)²

et donc |AP|²/|AE|² = 2²/3² = 4/9
et |AP| = 2/3 |AE|

Il reste à montrer que le point P appartient à la droite (CD) et ...
**********
Il y a sans aucun doute une volée de méthodes alternatives ...

8-)

DomK
Messages: 3
Enregistré le: 20 Oct 2020, 02:58

Re: Médianes et point d'intersection

par DomK » 20 Oct 2020, 16:58

En y réfléchissant bien, je ne devrais pas utiliser P partout, car l'un des buts est de montrer que P appartient à chaque médiane et qu'ensuite, il est le point d'intersection de chacune d'elles.
Tout en gardant en tête que la notion de centre de gravité n'est pas vue, je pourrais montrer que :
AP et BP se coupent au 2/3 (en utilisant AP = xAE et BP = yBF)
AP' et CP' se coupent également au 2/3. (en uilisant AP' = zAE et CP'=wCD)
Par conséquent, P=P'.
Qu'en dites-vous ?
PS : je dos vraiment utiliser des vecteurs.

 

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