[? 1ere] maximisation d'aire.

[Anonyme]

Bonjoir !

Allez, sans introduction:

Une poutre de section rectangulaire est extraite d'un tronc cylindrique
de 3m de rayon.

a) Démontrer que la section d'aire maximum est une section carrée
b) Des restes du tronc après que la poutre de section carrée ait été
découpée, il y a encore moyen de retirer 4 planches. Déterminer les
dimensions de ces planches de manière à ce que l'aire de leur section
soit maximale
c) Si la solidité d'une poutre de section rectangulaire est
proportionnelle au produit de sa longueur par le carré de sa largeur,
quelles sont les dimension de la poutre la plus solide qui puisse être
taillée dans un tronc cylindrique?

Solutions proposées:
a) Si si, ça marche
b) Environ 10.6cm sur 4.85cm
c) 50/sqrt(3) cm sur 50sqrt(2/3) cm


Mon problème à moi : j'ai essayé, et ça colle pas. Comme la personne que
je tentais d'aider a finalement décidé de se trouver un autre problème,
ça n'est pas important, mais si ça amuse quelqu'un d'autre par ici.

Ce que j'ai fait:
Pour le 'a' je suis d'accord, ça marche, je trouve un carré de côté de
longueur '3 sqrt(2) m'
Tout de suite, on se dit que la planche qu'on débite après, dans le b,
risque qd mm d'être plus grosse que 10.6 cm sur 4.85 cm, nan? Enfin, moi
je me le dis. Moi je trouvais donc 2.54m et 60 cm... boaf.
Pour le 'c' y'a un autre problème: si je fonce 'bêtement', j'obtiens
aussi deux solutions dans un rapport de sqrt(2), mais où la largeur
apparaît plus grande que la longueur (ce qui est gênant dans la mesure
où leur rôles ne sont pas symétrique). Accessoirement je me rend compte
à l'instant qu'il est dit "dans un tronc cylindrique" sans rien dire
d'autre, ce qui me semble bizarre aussi (mais j'ai jamais eu l'énoncé
sous les yeux).

Voilou, amusez vous bien si ça vous intéresse, dans tous les cas bonne
année.

--
Nico.

[Anonyme]

Nicolas Richard wrote:
> Bonjoir !
Bonjoir !?

>
> Allez, sans introduction:
>
> Une poutre de section rectangulaire est extraite d'un tronc cylindrique
> de 3m de rayon.
>
> a) Démontrer que la section d'aire maximum est une section carrée
soit un rectangle de longueur L et de largeur l.
l'aire S de ce rectangle vaut l*L.
le rectangle est inscrit dans le cercle C limite de la section du tronc
( la section est un disque), soit R le rayon de C,
nous avons alors l*l + L*L = 4*R*R car 2*R diamètre de C et est aussi
la diagonale du rectangle inscrit.

S = sqrt((4*R*R-l*l)*l*l)

S est maximale lorsque l=R donc lorsque L=l=R c'est à dire quand la
section est carrée cqfd.
S=R*R

> b) Des restes du tronc après que la poutre de section carrée ait été
> découpée, il y a encore moyen de retirer 4 planches. Déterminer les
> dimensions de ces planches de manière à ce que l'aire de leur section
> soit maximale

les chutes ou les restes ont des sections de 1/2 disques de rayon R/2.
Donc le problème est identique, sauf au lieu d'avoir un tronc
cylindrique à section cerculaire, nous avons un cylindre à section
hémi-cerculaire (je prends la solution de la question précédente avec un
section de diamètre deux fois plus petit, puis je le coupe en 2 car j'ai
un demi disque, donc je remplace dans a) R par R/2 et je divise la
solution par 2 donc la section maximale vaut R*R/8


> c) Si la solidité d'une poutre de section rectangulaire est
> proportionnelle au produit de sa longueur par le carré de sa largeur,
> quelles sont les dimension de la poutre la plus solide qui puisse être
> taillée dans un tronc cylindrique (à section circulaire).

Soit F le produit de la longueur par le carré de la largeur,

F= L*l*l et L>=l

et L*L + l*l = 4*R*R

donc F(L) = L*(4*R*R-L*L)

F'(L)= 4*R*R - 3*L*L

F atteint un extrêmun si F' s'annule donc si L = R*sqrt(4/3)


C'est un pb de 1ere ?

Joe
>
> Solutions proposées:
> a) Si si, ça marche
> b) Environ 10.6cm sur 4.85cm
> c) 50/sqrt(3) cm sur 50sqrt(2/3) cm
>
>
> Mon problème à moi : j'ai essayé, et ça colle pas. Comme la personne que
> je tentais d'aider a finalement décidé de se trouver un autre problème,
> ça n'est pas important, mais si ça amuse quelqu'un d'autre par ici.
>
> Ce que j'ai fait:
> Pour le 'a' je suis d'accord, ça marche, je trouve un carré de côté de
> longueur '3 sqrt(2) m'
> Tout de suite, on se dit que la planche qu'on débite après, dans le b,
> risque qd mm d'être plus grosse que 10.6 cm sur 4.85 cm, nan? Enfin, moi
> je me le dis. Moi je trouvais donc 2.54m et 60 cm... boaf.
> Pour le 'c' y'a un autre problème: si je fonce 'bêtement', j'obtiens
> aussi deux solutions dans un rapport de sqrt(2), mais où la largeur
> apparaît plus grande que la longueur (ce qui est gênant dans la mesure
> où leur rôles ne sont pas symétrique). Accessoirement je me rend compte
> à l'instant qu'il est dit "dans un tronc cylindrique" sans rien dire
> d'autre, ce qui me semble bizarre aussi (mais j'ai jamais eu l'énoncé
> sous les yeux).
>
> Voilou, amusez vous bien si ça vous intéresse, dans tous les cas bonne
> année.
>

[Anonyme]

jorges a écrit :
> les chutes ou les restes ont des sections de 1/2 disques de rayon R/2.
(...)
> donc la section maximale vaut R*R/8

Vous avez changé la courbure alors au passage ? Je suis pas trop
d'accord.
Et puis d'après leur solution, il faudrait trouver une aire de 10,6 *
4,85 = 51.41 cm²,
et vous avez trouvé 3*3/8 = 9/8 m², donc ça n'arrange pas mes histoires
non plus.
(moi j'avais 2.54 * 0.60 = 1.524 m²)

> F= L*l*l et L>=l
> et L*L + l*l = 4*R*R
> donc F(L) = L*(4*R*R-L*L)
> F'(L)= 4*R*R - 3*L*L
> F atteint un extrêmun si F' s'annule donc si L = R*sqrt(4/3)

et donc l² = 4 R² - R² 4/3 => l² = 11 R²/3 > L² = 4 R² /3
Ce qui ne m'arrange pas beaucoup plus. Et pour le coup, je me demandais
si une section inscrite au cercle était vraiment la meilleure chose à
faire, point de vue solidité. Mais ça je suis pas trop sûr (et j'ai pas
trop envie de chercher)

> C'est un pb de 1ere ?

Aucune idée. Par chez moi (bruxelles) j'aurais dit 5e - 6e. Enfin là je
suis en licence et j'arrive pas à coller à aux solutions, mais bon

--
Nico.