Dm de maths TS vers la fonction exponentielle

[ginta]

Voila, j'ai une dm préparatoire sur le fonction exponentielle et on a pas commencé le cours

OBJECTIF : construire pas à pas une solution approchée de l'équation y' = y (méthode
d'Euler).

Soit f une solution de l'équation y'= y telle que f (0) = 1 et soit C sa courbe représentative dans
un repère orthogonal d'unités 5cm sur l'axe des abscisses et 2cm sur l'axe des ordonnées

On se propose d'approcher la courbe C de f sur l'intervalle [-2 ; 2] par la courbe C' d'une
certaine fonction g, affine par morceaux.
On se souvient pour cela que la meilleure approximation affine d'une fonction dérivable f en
un point a est la fonction x ;);););) f (x0) + (x – x0) f '(x0).
Partie A:

Sur l'axe des abscisses, on place les réels -2 ; -1 ; 0 ; 1 et 2. On dit que ces nombres forment
une subdivision de l'intervalle [-2 ; 2] de pas d =1.
1. Justifier que la tangente à C au point A0 d'abscisse 0 admet pour équation y = x + 1.
On pose alors g(x) = x + 1 pour x ;) [0 ; 1]. Représenter graphiquement g sur [0 ; 1] ; on
obtient ainsi le segment [A0 A1 ].
2. On se place sur l'intervalle [ 1 ; 2 ] et on prend g(1) comme approximation du nombre f (1)
qui est inconnu.
Donner une équation de la tangente à C au point d'abscisse 1 et en déduire l'expression de la
fonction affine g sur [ 1 ; 2 ]. Construire sa représentation graphique [A1 A2 ].

3. On se place plus généralement sur l'intervalle [k ; k + 1] où k est un entier compris entre -2
et 2. Justifier que sur cet intervalle, g(x) = f (k) (x – k + 1) et calculer g(k). En déduire une
relation entre g(k + 1) et g(k) puis g(-1) et g(-2).
Achever alors la construction de C'

Partie B:
Reprendre les questions de la partie A avec un pas d de 0.5 puis de 0.2 et construire, dans le même repère que précédemment, les courbes représentatives des fonctions affines par morceaux ainsi obtenues ( on choisira des couleurs différentes)


Bien entendu, j'ai fais certaines choses :zen:

1- y = f '(0) × x + f (0) = x + 1
2-On a g ( 1) = 2 donc f (1) ;) 2 et du coup f '(2) ;) 2 et donc une équation de la tangente à C au
point d'abscisse 1 est y = f '(1) × x + f (1) = 2 (x – 1) + 2 = 2 x = g (x)

3-Une équation de la tangente à C au point d'abscisse k est :
y = f '(k) × (x – k) + f (k) = g (x) car g est la fonction affine par morceaux qui approche f.
y = f '(k) × (x – k) + f (k) = g (x) car g est la fonction affine par morceaux qui approche f.
Donc g (x) = f (k) (x – k + 1) compte tenu de f (k) = f '(k)
et donc g (k) = f (k) (k – k + 1) = f (k) puis g(k + 1) = 2 f (k) = 2 g(k)

g( – 1) = 1/2 *g(0)
g(-2)=1/4

et les points A0 ( 0 ; 1 ) , A1 ( – 1 ; 1/2) A2(-2;1/4)

[ginta]

Merci de me dire si il ya des erreurs ou ce que je dois préciser

[ginta]

Y'a t-il des erreurs ou pas :)