En alsace , on dénombre dans une reserve naturelle 270 pies bavardes sur 60km2. Nous allons modeliser l'evolution à long terme de cette population . On admet que le milieu ne permet pas d'avoir plus de 1000 individus et on note pn le rapport Pn/1000 où Pn designe la population au bout de "n" années. on a donc p0= 0.27.
Premiere partie :
On suppose que la population sur cette reserve augmente de 10% .
1) Exprimer pn+1 en fonction de pn. Quelle est la nature de la suite? En deduire une expression de pn en fonction de n.
2) Créer un tableur contenant les 20 premiers termes de la suite. pourquoi ce modele n'est pas réaliste ?
Deuxieme partie :
On choisit le modele suivant : pour tout n 0, pn+1= rpn(1-pn) (1) ou r est une constante , r>0 , interprétée comme le facteur de croissance de la population.
1)Representer sur 2 graphiques différents , avec une echelle adaptée a chaque fois , la fonction f: x rx(1-x) et y =x. pour le premier graphique on prendra r=0.9 et pour le deuxieme , r=2. Representer alors avec la construction adaptée les 4 premiers termes de la suite (pn)
2) Etude pour 0 < r <1
a) Montrer par reccurence que pour tout n dans N , pn
3)Etude pour r=1.
a) Montrer que pour tout n de , 0 < pn < 1.
b) Etudier le signe de pn+1-pn pour tout n de N.
c) en deduire que pn converge . On appelera l sa limite
d) On admet que l'on peut passer a la limite dans la relation (1).En deduire alors la valeur de l .Que peut-on dire de l'evolution de la population?
voila donc svp aidez moi