Dm maths sur les suites (term S)

[mathsts]

Bonjour, j ai donc un DM à rendre pour lundi prochain, j ai beaucoup de mal... merci d avance pour votre aide !
Voici l'énoncé :
"Au 1/1/2013, un banquier prête 100 000£ sur 10 ans au taux de 8%. Le client devra rembourser 14903£ à la fin de chaque année.
1. Justification des annuités : (chaque année la dette augmente de 8%)
Calculer c1 et c2.
Soit cn le capital restant à rembourser à la fin de la nièmeannée, une fois l'annuité versée. Donner la formule de récurrence liant cn et cn+1.
Chercher c pour que (cn - c) soit géométrique. En déduire cn-c puis cn en fonction de n et verifier que c10=(environ) 0
2. Profit réel de la banque : l'argent perdant 2% de sa valeur tous les ans, quelle est la valeur, en euros constants 2013, de la somme totale versée par le client ?"

Alors j'ai déjà calculé c1 et c2.
c1 = 1.08 * 100000 - 14903 = 93097
c2 = 1.08 * c1 - 14903 = 85641.767

En suite j'ai trouvé que cn+1 est de la forme a*cn+b
Donc cn+1 = 1.08cn - 14903

A present je cherche c pour que (cn - c) soit géométrique..
c'est ici que je suis bloquée car je pensais qu'il fallait que c = -14903 mais cela n'a pas l'air de fonctionner ... si vous pouviez pour cette partie de la question 1 ainsi que la 2 je vous en serais très reconnaissante ... :happy2:
après j'ai pensé à exprimer cn+1- c en fonction de k*(cn-c) ... merci à ceux qui prendront le temps de m'aider

[siger]

Bonjour, j ai donc un DM à rendre pour lundi prochain, j ai beaucoup de mal... merci d avance pour votre aide !
Voici l'énoncé :
"Au 1/1/2013, un banquier prête 100 000£ sur 10 ans au taux de 8%. Le client devra rembourser 14903£ à la fin de chaque année.
1. Justification des annuités : (chaque année la dette augmente de 8%)
Calculer c1 et c2.
Soit cn le capital restant à rembourser à la fin de la nièmeannée, une fois l'annuité versée. Donner la formule de récurrence liant cn et cn+1.
Chercher c pour que (cn - c) soit géométrique. En déduire cn-c puis cn en fonction de n et verifier que c10=(environ) 0
2. Profit réel de la banque : l'argent perdant 2% de sa valeur tous les ans, quelle est la valeur, en euros constants 2013, de la somme totale versée par le client ?"

Alors j'ai déjà calculé c1 et c2.
c1 = 1.08 * 100000 - 14903 = 93097
c2 = 1.08 * c1 - 14903 = 85641.767

En suite j'ai trouvé que cn+1 est de la forme a*cn+b
Donc cn+1 = 1.08cn - 14903

A present je cherche c pour que (cn - c) soit géométrique..
c'est ici que je suis bloquée car je pensais qu'il fallait que c = -14903 mais cela n'a pas l'air de fonctionner ... si vous pouviez pour cette partie de la question 1 ainsi que la 2 je vous en serais très reconnaissante ... :happy2:
après j'ai pensé à exprimer cn+1- c en fonction de k*(cn-c) ... merci à ceux qui prendront le temps de m'aider

Bonjour,

Tu y es presque!
Si (cn - c) est geometrique de raison r on doit avoir
(c(n+1) - c) = (cn -c) * r
ou (1.08*cn - 14903 - c) = (cn - c) *r
cette equation est verifiée si
r = ... et c = ....

[mathsts]

Bonjour,

Tu y es presque!
Si (cn - c) est geometrique de raison r on doit avoir
(c(n+1) - c) = (cn -c) * r
ou (1.08*cn - 14903 - c) = (cn - c) *r
cette equation est verifiée si
r = ... et c = ....

Tout d'abord, merci de m avoir répondu si vite
Le problème c est que je ne comprends pas bien à quoi correspond "c"
(je sais bien que : c(n+1) = (1,08cn+cn) - 14903)
Du coup, je n arrive pas à savoir pour quelle valeur de "c" l équation est vérifiée ....

Désolée j ai vraiment du mal avec ça ...

[siger]

re

désolé, mais tu n'as pas compris!
l'idée générale quand on n'a pas la possibilité de calculer facilement les termes d'une suite en fonction d'un paramètre ( ici n) est de créer une autre suite a partir de la première, (généralement une combinaison linéaire) qui corresponde a une suite " standard" géométrique ou arithmétique.
on te donnes ici une méthode pour déterminer cette nouvelle suite dn
ensuite on aura cn = c0*r^n + c

pose dn = cn -c
si dn est une suite géométrique de raison r on doit avoir
d(n+1) = r* dn
soit c(n+1) - c = r*(cn -c)
ce qui conduit a
1,08*cn - 14903 - c = r* (cn -c) = r*cn -r*c
ou cn *(1,08 - r) + c*( r-1) = 14903
qui n'est vérifiée que si r = 1,08 et c = 14903/(r-1)
....