Maths Suites niveau 1S

[ranana]

Bonjour à tous, alors voilà dans deux exercices différents je bloque sur la dernière et même question. Voici les exercices :
Ex1: on considère la suite (un) définie U0=1 et par la relation Un+1=Un+3n au carré+9n+7 pour tout entier naturel n.
1) calculer U1, U2, U3, U4, U5. Résultat: U1=8 , U2=27,U3=64, U4=125, U5=216
2) conjecturer l'expression de (Un) pour tout n. résultat: Un= (n+1)* (n+1)au carré
3) démontrer votre conjecture
C'est donc la question trois que je n'arrive pas
Ex2: On considère la suite (un) définie par U0=1 et par la relation Un+1= Un/ 1+2Un pour tout entier naturel n.
1) calculer U1, U2, U3, U4, U5. Résultat: U1=1/3 , U2=1/5 , U3=1/7 , U4=1/9 , U5=1/1
2) conjecturer l'expression de (Un) pour tout n. Résultat: Un= 1/ n+(n+1)
3) démontrer votre conjecture
C' est donc également la question 3) que je n'arrive pas aidez moi svp merci

[titine]

Désolé, mais vu que le principe de la démonstration par récurrence est au programme de Terminale, en 1ère je ne vois pas comment on peut faire ...

[ranana]

C'est pourtant ce que je dois faire

[lucassss]

En mathématique, une conjecture est une proposition que l'on pense juste mais que personne n'a pu démontrer ou réfuter;
Ici on vous demande donc de proposé ce que vous pensez de cette suite, si elle est croissante, décroissante ou constante... à vous de trouver désormais.
J'espère que je vous ai été utile.
Bien à vous

[Carpate]

Ca se démontre sans recourrir à une récurrence mais ça suppose que l'on connaît l''expression de la somme de n premiers entiers et de la somme des carrés des n premiers entiers.

On écrit les n + 1 relations pour n variant de 0 à n :



........................


On additionne ces n+1 relations (somme télescopique), il vient :


Or on sait (en première ???) que :


On a donc

On arrive à de la forme
Soit

[ranana]

Merci bcp mais donc comment je fais pour la même question mais de l'ex 3 ?

[nodgim]

Plus court peut être:
U(n+1) - Un = (n+2)^3 - (n+1)^3
Tu développes ça et tu devrais retomber sur ton polynome.

[nodgim]

Pour 3) de l'Ex 2, tu supposes vrai Un=1/(2n+1) et tu calcules Un/U(n+1) qui doit donner 2Un+1.
Par exemple.

[ranana]

Pour l'ex 3 j'ai fait ce que vous m'avez dit j'ai donc trouvé 2(UN)+1 mais je ne vois pas en quoi cela démontre la conjecture